Regeln Bernoulli & l´hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] (cos(x) - 1 / x) *ln(x)
(also cos(x) -1 durch x und nicht 1/x) |
also ich bin mit den regeln von bernoulli und de l´hospital vertraut, aber ich weiß nicht so recht wie ich sie nun anwenden soll.
dachte es heißt f3(x)= f1´(x) / f2´(x)
aber was mache ich mit dem ln (x) am ende?
setz ich das einfach mit auf den bruchstrich?
leite ich dann nach der produktregel ab?
also -sin(x)- cos(x) - 1/x -ln(x) wenn ich mich nicht täusche
oder einfach -sin(x) * 1/x ???
als ergebnis müsste 0 rauskommen, aber ich weiß nicht wie man dadrauf kommt
noch größere probleme habe ich mit dieser aufgabe hier
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] sin(3x) - 3x / x(cos(2x) -1 )
(also der bruchstrich soll unter dem ganzen term sin(3x)-3x sein
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
wenn ihr mir helfen würdet, wär ich euch wirklich seeehr dankbar
|
|
| |
|
Hallo Alexandra und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(cos(x) - 1 / x) *ln(x)
>
> (also cos(x) -1 durch x und nicht 1/x)
Wenn du den Formeleditor nicht benutzt, setze wenigstens die Klammern richtig.
Gemeint ist also $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{x}\cdot{}\ln(x)$
> also ich bin mit den regeln von bernoulli und de
> l´hospital vertraut, aber ich weiß nicht so recht wie ich
> sie nun anwenden soll.
>
> dachte es heißt f3(x)= f1´(x) / f2´(x)
Ja, du musst den Ausdruck umformen, so dass du einen Quotienten hast, der die Bedungung des Satzes von de l'Hôpital erfüllt ...
>
> aber was mache ich mit dem ln (x) am ende?
> setz ich das einfach mit auf den bruchstrich?
Dann hättest du $\frac{(\cos(x)-1)\cdot{}\ln(x)}{x}$
Das würde für $x\to 0$ gegen einen unbestimmten Ausdruck der Form $-\frac{0\cdot{}\infty}{0}$ streben, also nicht im Sinne von de l'Hôpital.
Forme stattdessen so um: $\frac{\cos(x)-1}{x}\cdot{}\ln(x)=\frac{\cos(x)-1}{x\cdot{}\frac{1}{\ln(x)}$
Das strebt für $x\to 0$ gegen $\frac{0}{0\cdot{}0}=\frac{0}{0}$, also einen Ausdruck ganz im Sinne der de l'Hôpitalschen Regel
Nun Zähler und Nenner getrennt ableiten (den Nenner nach Produktregel) und nochmal den Grenzübergang $x\to 0$ machen.
Soweit ich das auf die Schnelle sehe, bekommst du dabei wieder einen unbestimmten Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$, also nochmal ran mit de l'Hôpital ...
Nach der zweiten l'Hôpital-Kur solltest du auf den GW 0 kommen ...
>
> leite ich dann nach der produktregel ab?
Hauptsache, du leitest Zähler und Nenner getrennt ab, der jeweilige Ausdruck diktiert die Ableitungsregel
>
> also -sin(x)- cos(x) - 1/x -ln(x) wenn ich mich nicht
> täusche
> oder einfach -sin(x) * 1/x ???
>
> als ergebnis müsste 0 rauskommen, aber ich weiß nicht wie
> man dadrauf kommt
>
>
> noch größere probleme habe ich mit dieser aufgabe hier
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] sin(3x) - 3x / x(cos(2x) -1 )
>
> (also der bruchstrich soll unter dem ganzen term sin(3x)-3x
> sein
Setze doch Klammern, um es deutlich zu machen!!
Also [mm] $\frac{\sin(3x)-3x}{x\cdot{}(\cos(2x)-1)}$
[/mm]
Nun, hier hast du schon die benötigte "äußere Form", also einen Quotienten.
Außerdem strebt die Chose für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] also kannst du wieder de l'Hôpital bemühen.
Zähler und Nenner getrennt ableiten, für den Zähler brauchst du die Kettenregel, für den Nenner Produkt- und Kettenregel.
Hier sieht es gar nach dreimaliger Anwendung von de l'Hôpital aus, um auf den GW zu kommen.
Ich habe [mm] $\frac{9}{4}$ [/mm] heraus ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> wenn ihr mir helfen würdet, wär ich euch wirklich seeehr
> dankbar
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
also erstmal vielen dank für deine erklärung
ich hab mal versucht die aufgabe [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{cos(x)-1}{x} [/mm] * ln(x) zu lösen
weiß aber nicht ob es richtig ist
also zuerst mal haben wir dann [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{cos(x)-1}{x* \bruch{1}{ln(x)}}
[/mm]
also der zähler abgeleitet ist ja dann -sin(x)
den nenner habe ich dann als [mm] \bruch{x}{ln(x)} [/mm] geschrieben
dies nach der quotientenregel
da habe ich
[mm] \bruch{1*ln(x)-x*\bruch{1}{x}}{ln²-(x)}
[/mm]
das x und 1/x fällt ja dann weg, wenn man kürzt
dann habe ich ln(x) ebenfalls gekürzt, weiß allerdings nicht ob das so geht
aber hab dann
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{\bruch{1}{ln(x)}}
[/mm]
und das ist dann [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
und deshalb ist der grenzwert dann auch 0 ..???
ist das so ungefähr richtig oder liege ich da ganz falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Fr 12.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich hab mal versucht die aufgabe [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{cos(x)-1}{x}[/mm]
> * ln(x) zu lösen
>
> weiß aber nicht ob es richtig ist
>
> also zuerst mal haben wir dann [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{cos(x)-1}{x* \bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
>
> also der zähler abgeleitet ist ja dann -sin(x)
>
> den nenner habe ich dann als [mm]\bruch{x}{ln(x)}[/mm] geschrieben
> dies nach der quotientenregel
>
> da habe ich
>
> [mm]\bruch{1*ln(x)-x*\bruch{1}{x}}{ln²(x)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
richtig
>
> das x und 1/x fällt ja dann weg, wenn man kürzt
es faellt nicht weg, sondern ergibt 1
du hast also
Abl. des Nenners :
{\bruch{lnx-1}{ln^2(x)}
> dann habe ich ln(x) ebenfalls gekürzt, weiß allerdings
> nicht ob das so geht
nein
> aber hab dann
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{\bruch{1}{ln(x)}}[/mm]
falsch, richtig ist:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{-sin(x)}{\bruch{lnx-11}{ln^2(x)}}[/mm]
> und das ist dann [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
> und deshalb ist der grenzwert dann auch 0 ..???
Nein, wenn du 0/0 hast musst du L" Hopital nochmal anwenden.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
danke für deine antwort
ist das jetzt schon das ergebnis?
oder muss ich da noch weiter rechnen, wenn ja, wie mache ich das, wenn ich ln(x) nicht mit ln²(x) kürzen darf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Fr 12.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte doch gesagt, du brauchst nochmal L'Hopital.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
ähm ja ok..tut mir leid, bin bisschen schwer von begriff, aber das thema ist mir noch neu
heißt das, dass ich [mm] \bruch{-sin(x)}{\bruch{ln(x)-1}{ln²(x)}} [/mm] nochmal ableiten muss?
wenn ja..wie lautet denn die ableitung von ln²(x) ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Fr 12.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja.
[mm] ln^2(x) [/mm] nach Kettenregel ableiten. [mm] (lnx)^2. [/mm] wenn du das je nicht kannst Produktregel [mm] :ln^2(x)=lnx*lnx
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
|
