Regel von l'Hospital < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:56 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln (lsin(ax)l) / ln (cos(bx))
Allerdings soll x gegen 0 gehen. |
Hallo, ich brauche leider nochmal Hilfe.
Muss man hier eine Fallunterscheidung machen? Ich dachte nein, da ln ja nur für positive x definiert ist.
Dann habe ich versucht das mit der Regel von l'Hospital auszurechnen.
Bekomme dann f'(x)= [acos(ax)cos(bx)] / sin(ax)sin(bx)(-b)
Jetzt weiß ich nicht so recht, ob man das irgendwie vereinfachen kann.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zimti!
Ist hier folgende Aufgabe gemeint?
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln|\sin(a*x)|}{\ln\cos(b*x)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Ja, diese Aufgabe ist gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Mo 12.01.2009 | | Autor: | reverend |
Da kannst Du de l'Hospital nicht anwenden.
Der Zähler läuft gegen [mm] -\infty, [/mm] der Nenner gegen 0.
de l'Hospital geht nur bei gleichartigen Ausdrücken.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Hallo reverend,
Gut, aber wie kann ich die Aufgabe denn dann lösen?
LG
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So spontan meine ich ja, dass kein Grenzwert existiert.
Um mich davon zu überzeugen, würde ich nach einer Abschätzung suchen, die eine Relation von sin(ax) und sin(x) herstellt, ebenso für cos(bx). Vielleicht findet sich dann eine divergente Minorante (oder unwahrscheinlicher eine konvergente Majorante)?
Ich stell mal nicht auf ganz beantwortet, vielleicht sieht ja jemand eher etwas.
lg,
reverend
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Ich kenne den Begriff Minorante und Majorante nur im Bezug mit Reihen.
Kann ich diese Abschätzungen auch nutzbringend bei Folgen?
Bei Folgen hilft abschätzen hilft doch hier nicht soviel, oder doch? Gut, wenn ich eine "Minorante" oder "Majorante" finde, dann weiß ich, dass die Folge konvergiert/divergiert, aber bei einer konvergenten Majorante nicht den expliziten Grenzwert.
lg Kai
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Hallo Kai,
bei Folgen sind Minoranten und Majoranten ziemlich genauso hilfreich wie bei Reihen. Auch dort geben sie i.a. keine Auskunft über den Grenzwert, sondern nur eine Bewertungsmöglichkeit für Konvergenz oder Divergenz.
Dennoch sehe ich noch immer nicht, wie bei der vorliegende Folge ein Grenzwert nachzuweisen wäre.
lg,
reverend
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Für diese Grenzwertbestimmung kann man die
trigonometrischen Funktionen durch ihre
Taylorreihen ersetzen und muss dabei im
Wesentlichen nur deren erste Glieder benutzen:
$\ [mm] sin\,(a*x)\ \approx\ [/mm] a*x$
$\ [mm] cos\,(b*x)\ \approx\ 1-\bruch{b^2}{2}\ x^2$
[/mm]
Zähler:
$\ [mm] ln\,|sin\,(a*x)|\ \approx\ ln\,|a*x|\ [/mm] =\ [mm] ln\,|a|+ln\,|x|$ (a\not= [/mm] 0, [mm] x\not= [/mm] 0)
[mm] ln\,|a| [/mm] ist endlich, [mm] ln\,|x| [/mm] und damit der gesamte
Zähler strebt gegen [mm] -\infty\,, [/mm] wenn x [mm] \to [/mm] 0.
Nenner:
$\ [mm] ln\,(cos\,(b*x))\ \approx\ ln\,(1-\bruch{b^2}{2}\ x^2)\ \approx\ -\,\bruch{b^2}{2}\ x^2$
[/mm]
Der Nenner ist (falls [mm] b\in\IR\, ,b\not=\,0) [/mm] negativ und strebt
für [mm] x\to [/mm] 0 gegen 0.
Der Wert des Bruches strebt deshalb gegen [mm] $+\,\infty$ [/mm] ,
falls [mm] a,b\in\IR [/mm] und [mm] b\not=\;0 [/mm] .
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:09 Di 13.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
(Nach Al-Chwarizmis Hinweis Vorzeichen korrigiert.)
> Der Zähler läuft gegen [mm]-\infty,[/mm] der Nenner gegen [mm] \red{-}0.
[/mm]
Nicht, dass ich das jetzt formal korrekt ausdrücken könnte, aber dann läuft der ganze Ausdruck doch eindeutig gegen [mm]\red{+}\infty[/mm], oder?
Oder bin ich grad zu naiv?
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Di 13.01.2009 | | Autor: | reverend |
Das sehe ich auch so, aber ich wollte wissen, ob das noch jemand aus der Aufgabenstellung für sich herleitet.
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> > Der Zähler läuft gegen [mm]-\infty,[/mm] der Nenner gegen 0.
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> Nicht, dass ich das jetzt formal korrekt ausdrücken könnte,
> aber dann läuft der ganze Ausdruck doch eindeutig gegen
> [mm]-\infty[/mm], oder?
>
> Oder bin ich grad zu naiv?
Nur ein bisschen: der Nenner strebt gegen Null,
hat aber negative Werte. Deshalb strebt der
ganze Ausdruck nicht gegen [mm] -\infty, [/mm] sondern gegen [mm] +\infty [/mm] .
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