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| Aufgabe | Man bestimme alle reellen Lösungen der Differentialgleichung
[mm] u''+2au'+\omega^2u=c\cos{(\omega t)},\ \a{}(c>0,\ 0\le a<\omega)
[/mm]
Man zeige, dass [mm] L=\limes_{t->\infty}{|u(t)|} [/mm] nur von [mm] a,c,\omega [/mm] abhängt und berechne [mm] L=L(a,c,\omega) [/mm] (a=0 ist ein Sonderfall) |
Hallo zusammen, leider habe ich von DGL so gut wie keine Ahnung; ich würde aber gerne diese Aufgabe lösen. Es würde mir schon helfen, wenn ihr mir erstmal ein paar Tipps gebt, damit ich dann selber mal ausprobieren kann, ob ich auf die Lösung komme. Danke im voraus
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Hallo wasistmathe,
> Man bestimme alle reellen Lösungen der
> Differentialgleichung
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> [mm]u''+2au'+\omega^2u=c\cos{(\omega t)},\ \a{}(c>0,\ 0\le a<\omega)[/mm]
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> Man zeige, dass [mm]L=\limes_{t->\infty}{|u(t)|}[/mm] nur von
> [mm]a,c,\omega[/mm] abhängt und berechne [mm]L=L(a,c,\omega)[/mm] (a=0 ist
> ein Sonderfall)
> Hallo zusammen, leider habe ich von DGL so gut wie keine
> Ahnung; ich würde aber gerne diese Aufgabe lösen. Es würde
> mir schon helfen, wenn ihr mir erstmal ein paar Tipps gebt,
> damit ich dann selber mal ausprobieren kann, ob ich auf die
> Lösung komme. Danke im voraus
Die Lösungen der homogenen DGL
[mm]u''+2au'+\omega^2u=0[/mm]
ergeben sich durch den Ansatz
[mm]u\left(t\right)=e^{\lambda t}[/mm]
,wobei hier dann auch komplexe Lösungen auftreten können.
Sind [mm]u_{1}, u_{2}[/mm] Lösungen der homogenen DGL,
so ergibt sich die Gesamtlösung zu:
[mm]u\left(t\right))=c_{1}*u_{1}\left(t\right)+c_{2}*u_{2}\left(t\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo, sorry dass ich erst so spät antworte, ich hatte aber viel zu tun. Leider weiß ich doch nicht wie ich da anfangen soll. Könnt ihr mir vieleicht doch bei dem Anfang helfen, das wäre echt nett.
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Hallo wasistmathe,
> Hallo, sorry dass ich erst so spät antworte, ich hatte aber
> viel zu tun. Leider weiß ich doch nicht wie ich da anfangen
> soll. Könnt ihr mir vieleicht doch bei dem Anfang helfen,
> das wäre echt nett.
>
Zunächst einmal ist Die Lösung der homogenen DGL
[mm]u''+2*a*u'+\omega^{2}u=0[/mm]
bestimmt durch den Ansatz
[mm]u\left(t\right)=C*e^{\lambda t}[/mm]
bestimmt, was dann auf die Gleichung
[mm]\lambda^{2}+2*a*\lambda+\omega^{2}=0[/mm]
führt. Bestimme von dieser Gleichung die Lösungen [mm]\lambda_{1,2}[/mm].
Dann sind Lösungen
[mm]u_{H}\left(t\right)=c_{1}*e^{\lambda_{1} t}+ c_{2}*e^{\lambda_{2} t}, \ \lambda_{1} \not= \lambda_{2}[/mm]
Um auf die Lösung der inhomogenen DGL
[mm]u''+2*a*u'+\omega^{2}u=c*\cos\left(\omega t\right)[/mm]
zu kommen, machst Du den Ansatz in der Art der Störfunktion:
[mm]u_{P}\left(t\right)=A*\sin\left(\omega t\right)+B*\cos\left(\omega t\right), \ \lambda_{1} \not= \lambda_{2}[/mm]
Setzt diesen in die inhomogene DGL ein, und mache dann einen ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich.
Vergleichst demnach die cos- bzw. sin-Terme auf der linken und rechten Seite miteinander.
Jetzt kannst Du Dich daran probieren.
Gruß
MathePower
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