Reduzibel, Nullstelle < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 So 08.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] $f\in [/mm] K[T]$ mit $deg [mm] f\in\{2,3\}$. [/mm]
Zeigen Sie: f ist reduzibel genau dann wenn f eine Nullstelle in K hat. |
Hi, ist dieser Beweis korrekt?
"Reduzibel [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f hat Nullstelle in K
Sei [mm] $f\in [/mm] K[T]$ mit [mm] $deg\,\, f\in\{2,3\}$ [/mm] reduzibel, dann existiert für
[mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ [/mm] mit [mm] $a,b,c,d\in [/mm] K$ und [mm] $a\neq 0\vee b\neq [/mm] 0$ (Also ist nicht a und b gleichzeitig Null, sonst wäre ja der Grad nicht 2, oder 3)
eine Zerlegung
[mm] $(a'x^2+b'x+c')(x-d')=f(x)$ [/mm] mit [mm] $a'\neq 0\vee b'\neq [/mm] 0$, mit d' ist Nullstelle von f.
Das war die Hinrichtung. Nun zur Rückrichtung:
"f hat Nullstelle [mm] $\Rightarrow$ [/mm] f ist reduzibel"
Da f eine Nullstelle hat und [mm] $deg\,\, f\in\{2,3\}$ [/mm] hat f mindestens einen linear Faktor.
Passt das so? Die Rückrichtung ist ja ziemlich trivial.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:24 Mo 09.06.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Gegeben sei [mm]f\in K[T][/mm] mit [mm]deg f\in\{2,3\}[/mm].
> Zeigen Sie: f ist reduzibel genau dann wenn f eine
> Nullstelle in K hat.
> Hi, ist dieser Beweis korrekt?
>
> "Reduzibel [mm]\Rightarrow[/mm] f hat Nullstelle in K
>
> Sei [mm]f\in K[T][/mm] mit [mm]deg\,\, f\in\{2,3\}[/mm] reduzibel, dann
> existiert für
>
> [mm]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm] mit [mm]a,b,c,d\in K[/mm] und [mm]a\neq 0\vee b\neq 0[/mm]
> (Also ist nicht a und b gleichzeitig Null, sonst wäre ja
> der Grad nicht 2, oder 3)
>
> eine Zerlegung
>
> [mm](a'x^2+b'x+c')(x-d')=f(x)[/mm] mit [mm]a'\neq 0\vee b'\neq 0[/mm], mit d'
> ist Nullstelle von f.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vielleicht noch eine Begründung, warum jede Zerlegung von f einen
Linearfaktor enthält.
>
> Das war die Hinrichtung. Nun zur Rückrichtung:
>
> "f hat Nullstelle [mm]\Rightarrow[/mm] f ist reduzibel"
>
> Da f eine Nullstelle hat und [mm]deg\,\, f\in\{2,3\}[/mm] hat f
> mindestens einen linear Faktor.
Diese Richtung gilt auch unabhängig vom Grad von f, wenn $deg [mm] f\ge [/mm] 1$.
>
>
>
> Passt das so? Die Rückrichtung ist ja ziemlich trivial.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 09.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, vielen Dank.
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