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Hallo,
ich habe eine Frage zur Reduktion von Differentialgleichungen höherer Ordnung auf ein System 1. Ordnung.
Hier erst einmal ein Beispiel für Ordnung=2:
x''(t) + [mm] a^{2}*x(t) [/mm] = sin(w*t)
[mm] \gdw [/mm] x''(t) = f(t,x(t)) mit [mm] f(t,x(t))=sin(w*t)-a^{2}*x(t)
[/mm]
Nun die Reduktion:
setze: v:= x'(t) und [mm] \overline{x} [/mm] = (x,v)
dann ergibt sich : [mm] \overline{x}' [/mm] = [mm] (x',v')=(v,f(t,x(t))=\overline{f}(t,v)
[/mm]
Somit wäre die obige Differentialgleichung auf ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung reduziert worden oder?
So nun zu meiner Frage:
ich verstehe nicht ganz, was man dadurch in der Praxis gewinnt?
Für mich geht diese Reduktion auf in einer bloßen umbenennung der Variablen.
Somit ist doch lediglich eine formale Reduktion erreicht, wobei man praktisch doch immer noch die gleichheit x''=v'=f(t,x(t)) finden muss oder?
Bitte helft mir bei meinem Problem
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Do 22.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe eine Frage zur Reduktion von
> Differentialgleichungen höherer Ordnung auf ein System 1.
> Ordnung.
>
> Hier erst einmal ein Beispiel für Ordnung=2:
>
> [mm]x''(t) + a^{2}*x(t) = sin(w*t) [/mm]
>
> [mm]\gdw x''(t) = f(t,x(t))[/mm] mit [mm]f(t,x(t))=sin(w*t)-a^{2}*x(t)[/mm]
>
> Nun die Reduktion:
>
> setze: v:= x'(t) und [mm]\overline{x}[/mm] = (x,v)
>
> dann ergibt sich : [mm]\overline{x}'[/mm] =
> [mm](x',v')=(v,f(t,x(t))=\overline{f}(t,v)[/mm]
>
> Somit wäre die obige Differentialgleichung auf ein System
> von Differentialgleichungen 1. Ordnung reduziert worden
> oder?
>
> So nun zu meiner Frage:
> ich verstehe nicht ganz, was man dadurch in der Praxis
> gewinnt?
> Für mich geht diese Reduktion auf in einer bloßen
> umbenennung der Variablen.
>
> Somit ist doch lediglich eine formale Reduktion erreicht,
> wobei man praktisch doch immer noch die gleichheit
> x''=v'=f(t,x(t)) finden muss oder?
Richtig. Es gibt mehrere Gründe, das zu tun.
1. Für ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung gilt der Satz von Picard-Lindelöf. Durch die Reduktion bekommt man daraus Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für Differentialgleichungen höherer Ordnung.
2. Eine System von Differentialgleichungen 1. Ordnung lässt sich mit bekannten numerischen Verfahren angehen.
3. Es gibt Fälle, in denen bei der Reduktion die Gleichungen entkoppeln, zum Beispiel für autonome Differentialgleichungen, bei denen die Funktion f nicht explizit von t abhängt. Einfaches Beispiel:
[mm] x''(t) + a^{2}*x(t) - f(x(t)) =0 [/mm]
In diesem Fall kann man durch geschickte Umformung zwei unabhängige Differentialgleichungen 1. Ordnung gewinnen, die man daher getrennt lösen kann.
Wenn du die DGL mit $2x'(t)$ multiplizierst, ist
[mm]2 x'(t)x''(t) +a_2*2x(t)x'(t)- 2 f(x(t))x'(t) =0[/mm]
oder:
[mm] \bruch{d}{dt} (x'(t))^2 + a_2 \bruch{d}{dt} x(t)^2 - 2 \bruch{d}{dt} f(x(t)) =0[/mm]
Dies kannst du sofort integrieren und bekommst eine DGL 1. Ordnung:
[mm] (x'(t))^2 + a_2x(t)^2 - 2f(x(t)) = C [/mm],
die man durch Trennung der Variablen lösen kann.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank für die hilfreiche Antwort.
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