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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Fr 19.04.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei G [mm] \subset [/mm] K [mm] [\underline{X}] [/mm] und f, g [mm] \in [/mm] K [mm] [\underline{X}], [/mm] sodass sich f modulo G zu h reduzieren lässt, das heißt es gibt endlich viele [mm] g_{i} \in [/mm] G und Polynome [mm] f_{i} [/mm] ( [mm] f_{0}=f [/mm] , [mm] f_{r}=h [/mm] ) und Terme [mm] c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}} [/mm] von [mm] f_{i}, [/mm] sodass der Leitterm von [mm] g_{i} [/mm] (bzgl. einer gegebenen Termordnung) ein Teiler von [mm] c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}} [/mm] ist und sodass gilt:
[mm] f_{i+1} [/mm] = [mm] f_{i} [/mm] - [mm] c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}} g_{i} \frac{1}{lt(g_{i})} [/mm]
Zeigen Sie, dass es Polynome [mm] a_{g} [/mm] ( g [mm] \in [/mm] G ) gibt, wovon nur endlich viele nicht 0 sind, sodass
[mm] f = \sum_{g} a_{g} g + h [/mm] ist und
[mm] mdeg(a_{g} g ) \le mdeg(f) \forall g \in G [/mm] |
Hallo!
Dass es so eine Darstellung von f als Summe gibt, folgt ja sofort aus der Definition:
[mm] f = h + \sum_{i=0}^{r-1} \frac{c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}}}{lt(g_{i})} g_{i} [/mm]
Das Problem ist diese Multigradbedingung...ich seh einfach nicht, warum
[mm] mdeg( \frac{c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}}}{lt(g_{i})} g_{i} ) \le mdeg(f) [/mm] gelten sollte, bzw. wenn ich annehme, dass es ein i gibt, sodass diese Relation nicht gilt, wie ich die Darstellung so verändern kann, dass dieses Polynom wegfällt und ersetzt wird durch welche, die diese Bedingung erfüllen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 21.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G [mm]\subset[/mm] K [mm][\underline{X}][/mm] und f, g [mm]\in[/mm] K
> [mm][\underline{X}],[/mm] sodass sich f modulo G zu h reduzieren
> lässt, das heißt es gibt endlich viele [mm]g_{i} \in[/mm] G und
> Polynome [mm]f_{i}[/mm] ( [mm]f_{0}=f[/mm] , [mm]f_{r}=h[/mm] ) und Terme
> [mm]c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}}[/mm] von [mm]f_{i},[/mm] sodass der
> Leitterm von [mm]g_{i}[/mm] (bzgl. einer gegebenen Termordnung) ein
> Teiler von [mm]c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}}[/mm] ist und sodass
> gilt:
> [mm]f_{i+1}[/mm] = [mm]f_{i}[/mm] - [mm]c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}} g_{i} \frac{1}{lt(g_{i})}[/mm]
> Zeigen Sie, dass es Polynome [mm]a_{g}[/mm] ( g [mm]\in[/mm] G ) gibt, wovon
> nur endlich viele nicht 0 sind, sodass
> [mm]f = \sum_{g} a_{g} g + h[/mm] ist und
> [mm]mdeg(a_{g} g ) \le mdeg(f) \forall g \in G[/mm]
>
> Dass es so eine Darstellung von f als Summe gibt, folgt ja
> sofort aus der Definition:
> [mm]f = h + \sum_{i=0}^{r-1} \frac{c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}}}{lt(g_{i})} g_{i}[/mm]
> Das Problem ist diese Multigradbedingung...ich seh einfach
> nicht, warum
> [mm]mdeg( \frac{c_{i}\underline{X}^{\alpha_{i}}}{lt(g_{i})} g_{i} ) \le mdeg(f)[/mm]
> gelten sollte,
Das gilt i.A. auch gar nicht.
> bzw. wenn ich annehme, dass es ein i gibt,
> sodass diese Relation nicht gilt, wie ich die Darstellung
> so verändern kann, dass dieses Polynom wegfällt und
> ersetzt wird durch welche, die diese Bedingung erfüllen?
Sei $i$ mit $mdeg( [mm] c_i X^{\alpha_i} g_i [/mm] / [mm] lt(g_i) [/mm] )$ maximal. Ist dies $> mdeg(f)$, so gibt es mindestens ein weiteres $j [mm] \neq [/mm] i$ mit $mdeg( [mm] c_j X^{\alpha_j} g_j [/mm] / [mm] lt(g_j) [/mm] ) = mdeg( [mm] c_i X^{\alpha_i} g_i [/mm] / [mm] lt(g_i) [/mm] ) > mdeg(f)$. Denn irgendwie muessen sich die entsprechenden Leitterme ja aufheben.
Sei $I$ die Menge aller solchen Indices $i$ und $j$. Dann gilt [mm] $\sum_{i \in I} lt\bigl( c_j X^{\alpha_j} g_j [/mm] / [mm] lt(g_j) \bigr) [/mm] = 0$ (folgt aus der Maximalitaet). Das kannst du jetzt vereinfachen, und bekommst eine Bedingung an die [mm] $c_i$.
[/mm]
Jetzt musst du dafuer sorgen, dass diese Leitterme aus der Linearkombination von $f$ verschwinden -- so dass alle Terme einen Multigrad echt kleiner als das bisherige Maximum haben.
Wenn du dann Induktion verwendest, siehst du, dass du in endlich vielen Schritten auf die passende Darstellung kommst, ohne diese explizit durchfuehren zu muessen.
LG Felix
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