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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Reduktion der Ordnung

Reduktion der Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Reduktion der Ordnung: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	07:45 Sa 18.12.2010
Autor:	pppppp

Aufgabe

 Gegeben sei

[mm]x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=x^3lnx[/mm]

Die dazugehörige homogene DGL besitz eine Lösung der Form [mm]y(x)= Ax+B[/mm]

a)Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des homogenen Problems durch Reduktion der Ordnung.

b)Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung des inhomogenen Problems mittels Variation der Konstanten

c)Lösen Sie das AWP der inhomogenen Differentialgleichung mit y(1)=y'(1)=1

Mein Ergebnis für a ist [mm]y(x)= c_1x+c_2[/mm] , wenn man das einsetzt kommt michts Gutes heraus. Gefühlsmäßig müsset [mm]y(x)=c_1x[/mm] eine allgemeine Lösung sein, das ist aber leider nicht mein Ergebnis

Vielleich kamm mir irgendjemand weiterhelfen, hier ist mein Rechenweg:

Eine Lösung ist [mm]y_1(x)=Ax+B=x[/mm]

[mm]y_1=x[/mm]   [mm]y_1'=1[/mm]   [mm]y_1''=0[/mm]

Multiplikationsansatz:
[mm]y=y_1*y_L=x*y_L[/mm]     [mm]y'=y_1'*y_L+y_1*y_L'=y_L+x*y'_L[/mm]    [mm]y''=y_1''*y_L+2*y_1'*y_L'+y_1*y_L''=2y_L'+x*y_L''[/mm]

Einsetzen:
[mm]x^2(2y_L'+x*y_L'')-2x(y_L+x*y'_L)+2(x*y_L)=0[/mm]
[mm]2x^2y_L'+x^3y_L''-2xy_L-2x^2y_L'+2xy_L=0[/mm]
[mm]x^3y_L''=0[/mm]

Reduktion der Ordnung durch [mm]y_L''=U[/mm]
[mm]x^3U=0 \gdw U=0[/mm]

[mm]\integral_{}^{}U dx = c_1 [/mm]     [mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm]
[mm]\integral_{}^{}c_1 dx = c_1 x + c_2[/mm]

Rücksubstitution [mm]y_L''=U[/mm]
[mm] $y_L'=c_1$ [/mm]
[mm] $y_L=c_1x+c_2$ [/mm]

allgemeine Lösung:
[mm] $y_L=c_1x+c_2$ [/mm]

Leider erhält man z.B. mit c2=5 das Ergebnis 10=0... Ich glaube, dass irgendwo ein Fehler im Ansatz sein muss

, denn ähnliche Fehler mache ich bei anderen Aufgaben auch. Bin für jeden Tipp Dankbar

Bezug

Reduktion der Ordnung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	11:56 Sa 18.12.2010
Autor:	MathePower

Halllo pppppp,

> Gegeben sei
>
> [mm]x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=x^3lnx[/mm]
>
> Die dazugehörige homogene DGL besitz eine Lösung der Form
> [mm]y(x)= Ax+B[/mm]
>
> a)Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des homogenen
> Problems durch Reduktion der Ordnung.
>  b)Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung des inhomogenen
> Problems mittels Variation der Konstanten
>  c)Lösen Sie das AWP der inhomogenen Differentialgleichung
> mit y(1)=y'(1)=1
>
>
> Mein Ergebnis für a ist [mm]y(x)= c_1x+c_2[/mm] , wenn man das
> einsetzt kommt michts Gutes heraus. Gefühlsmäßig müsset
> [mm]y(x)=c_1x[/mm] eine allgemeine Lösung sein, das ist aber leider
> nicht mein Ergebnis

Vielleich kamm mir
> irgendjemand weiterhelfen, hier ist mein Rechenweg:
>
> Eine Lösung ist [mm]y_1(x)=Ax+B=x[/mm]

>
> [mm]y_1=x[/mm]   [mm]y_1'=1[/mm]   [mm]y_1''=0[/mm]
>
> Multiplikationsansatz:
>  [mm]y=y_1*y_L=x*y_L[/mm]     [mm]y'=y_1'*y_L+y_1*y_L'=y_L+x*y'_L[/mm]
> [mm]y''=y_1''*y_L+2*y_1'*y_L'+y_1*y_L''=2y_L'+x*y_L''[/mm]
>
> Einsetzen:
>  [mm]x^2(2y_L'+x*y_L'')-2x(y_L+x*y'_L)+2(x*y_L)=0[/mm]
>  [mm]2x^2y_L'+x^3y_L''-2xy_L-2x^2y_L'+2xy_L=0[/mm]
>  [mm]x^3y_L''=0[/mm]
>
> Reduktion der Ordnung durch [mm]y_L''=U[/mm]
>  [mm]x^3U=0 \gdw U=0[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}U dx = c_1[/mm]     [mm]c_1,c_2 \in \IR[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}c_1 dx = c_1 x + c_2[/mm]
>
> Rücksubstitution [mm]y_L''=U[/mm]
>  [mm]y_L'=c_1[/mm]
>  [mm]y_L=c_1x+c_2[/mm]
>
> allgemeine Lösung:
>  [mm]y_L=c_1x+c_2[/mm]
>

Um die zweite Lösung zu erhalten,  musst Du
[mm]y_{L}[/mm] mit [mm]y_{1}=x[/mm] multiplizieren,

>
> Leider erhält man z.B. mit c2=5 das Ergebnis 10=0... Ich
> glaube, dass irgendwo ein Fehler im Ansatz sein
> muss

, denn ähnliche Fehler mache ich bei anderen
> Aufgaben auch. Bin für jeden Tipp Dankbar
>

Gruss
MathePower