Reduktion System 1. Ordunung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Do 17.10.2013 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Transformieren Sie das skalare AWP in ein äquivalentes AWP 1. Ordnung.
a) $y''(t)+ty(t)=0;\ \ y(1)=2,\ y'(1)=1$
b) $y'''(t)+y'(t)=ty(t);\ \ y(2)=0,\ y'(2)=1,\ y''(2)=2$ |
Hallo,
erstmal Aufgabe a)
$y''(t)+ty(t)=0;\ \ y(1)=2,\ y'(1)=1$
ergibt über
[mm] y_1(t):=y(t)
[/mm]
[mm] y_2(t):=y'(t)=y_1'(t)
[/mm]
das äquivalente System 1. Ordnung
[mm] \vektor{y_1' \\ y_2'}=\vektor{y_2 \\ -ty_1}
[/mm]
bzw.
[mm] \vektor{y_1 \\ y_2}'=\pmat{0 & 1 \\ -t & 0}\vektor{y_1 \\ y_2}
[/mm]
mit den Anfangsbedingungen
[mm] $(y_1(1), y_2(1))=(2,1)$
[/mm]
------------------------------------------
Aufgabe b)
$y'''(t)+y'(t)=ty(t);\ \ y(2)=0,\ y'(2)=1,\ y''(2)=2$
ergibt über
[mm] y_1(t):=y(t)
[/mm]
[mm] y_2(t):=y'(t)=y_1'(t)
[/mm]
[mm] y_3(t):=y''(t)=y_2'(t)
[/mm]
das äquivalente System 1. Ordnung
[mm] \vektor{y_1' \\ y_2'\\y_3'}=\vektor{y_2 \\ y_3 \\ -y_2+ty_1}
[/mm]
bzw.
[mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}'=\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ t & -1 & 0}\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3}
[/mm]
mit den Anfangsbedingungen
[mm] $(y_1(2), y_2(2), y_3(2))=(0,1,2)$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Transformieren Sie das skalare AWP in ein äquivalentes AWP
> 1. Ordnung.
>
> a) [mm]y''(t)+ty(t)=0;\ \ y(1)=2,\ y'(1)=1[/mm]
> b)
> [mm]y'''(t)+y'(t)=ty(t);\ \ y(2)=0,\ y'(2)=1,\ y''(2)=2[/mm]
>
> Hallo,
>
> erstmal Aufgabe a)
>
> [mm]y''(t)+ty(t)=0;\ \ y(1)=2,\ y'(1)=1[/mm]
>
> ergibt über
>
> [mm]y_1(t):=y(t)[/mm]
> [mm]y_2(t):=y'(t)=y_1'(t)[/mm]
>
> das äquivalente System 1. Ordnung
>
> [mm]\vektor{y_1' \\ y_2'}=\vektor{y_2 \\ -ty_1}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\vektor{y_1 \\ y_2}'=\pmat{0 & 1 \\ -t & 0}\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm]
>
> mit den Anfangsbedingungen
> [mm](y_1(1), y_2(1))=(2,1)[/mm]
>
> ------------------------------------------
>
> Aufgabe b)
> [mm]y'''(t)+y'(t)=ty(t);\ \ y(2)=0,\ y'(2)=1,\ y''(2)=2[/mm]
>
> ergibt über
>
> [mm]y_1(t):=y(t)[/mm]
> [mm]y_2(t):=y'(t)=y_1'(t)[/mm]
> [mm]y_3(t):=y''(t)=y_2'(t)[/mm]
>
> das äquivalente System 1. Ordnung
>
> [mm]\vektor{y_1' \\ y_2'\\y_3'}=\vektor{y_2 \\ y_3 \\ -y_2+ty_1}[/mm]
>
> bzw.
>
> [mm]\vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}'=\pmat{0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ t & -1 & 0}\vektor{y_1 \\ y_2\\y_3}[/mm]
>
> mit den Anfangsbedingungen
> [mm](y_1(2), y_2(2), y_3(2))=(0,1,2)[/mm]
Das stimmt alles.
Was ist nun Deine Frage ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:24 Do 17.10.2013 | | Autor: | Trolli |
Habe keine Frage, sollte nur eine Korrektur sein. Beim nächsten mal schreibe ich es noch hin ;)
Danke für die Korrektur.
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