Rechts- kein Linksnullteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:17 Do 12.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei V der (reelle) Vektorraum der reellen Folgen [mm] (a_n)_{n\ge 1} [/mm] (mit den Veknüpfungen [mm] (a_n)_{n\ge 1}+(b_n)_{n\ge 1}:=(a_n+b_n)_{n\ge 1} [/mm] und [mm] \alpha\cdot(a_n)_{n\ge1}:=(\alpha\cdot a_n)_{n\ge 1} [/mm] ) und R der Endomorphismenring von V. Es bezeichnen [mm] \phi:V\to [/mm] V und [mm] \psi:V\to [/mm] V die Abbildungen
[mm] \phi(a_1,a_2,a_3,..)=(0,a_1,a_2,..) [/mm] und [mm] \psi(a_1,a_2,a_3,..)=(a_2,a_3,a_4,..)
[/mm]
Beweisen Sie:
[mm] \phi [/mm] ist ein Rechtsnullteiler aber kein Linksnullteiler in R, [mm] \psi [/mm] ist ein Linksnullteiler aber kein Rechtsnullteiler in R. |
Hallo,
Die Aufgabe bestand aus mehreren Unterpunkten (die ich hier nicht gepostet habe) wie z.B., dass [mm] \psi, \phi \in [/mm] R,...
ZZ.: [mm] \exists \sigma \in R\setminus\{0\}: \sigma \circ \phi [/mm] =0
Definiere: [mm] \sigma(a_1,a_2,..)=(a_1,0,0...) [/mm] , [mm] \sigma: [/mm] V [mm] \to [/mm] V offensichtlich nicht die Nullabbildung. In einer zeile ist auch gezeigt [mm] \sigma \in [/mm] R.
[mm] \sigma(\phi(a_1,a_2,...))=\sigma(0,a_1,a_2,..)=(0,0,..)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] Rechtsnullteiler
Aber: [mm] \phi (\sigma (a_1,a_2,..))=\phi(a_1,0,0,..)=(0,a_1,0,0,..)\not=(0,0,0,...)
[/mm]
Wie zeige ich aber nun,dass [mm] \phi [/mm] kein Linksnullteiler in R ist?
ZZ: [mm] \not\exists \delta \in \IR\setminus\{0\}: \phi \circ \delta [/mm] =0
D.h. wenn gilt [mm] \phi (\delta(a_1,a_2,a_3,..))=(0,0,0,..) [/mm] muss folgen [mm] \delta [/mm] ist die Nullabbildung. Intuitiv ist es mir klar, aber ich schaff es nicht konkret aufzuschreiben.
Bei [mm] \psi [/mm] analog mit dem selben [mm] \sigma:
[/mm]
[mm] (\psi \circ \sigma) (a_1,a_2,a_3,..)=\psi(\sigma(a_1,a_2,a_3,...))=\psi(a_1,0,0,0..)=(0,0,0,...) \Rightarrow \psi [/mm] Linksnullteiler
ZZ: $ [mm] \not\exists \delta \in \IR\setminus\{0\}:\delta \circ \psi [/mm] $ =0
Sei [mm] \delta(\psi(a_1,a_2,a_3,..))=\delta(a_2,a_3,a_4,...)=(0,0,0,..) \Rightarrow \delta [/mm] =0 (Nullabbildung)
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Do 12.02.2015 | | Autor: | hippias |
Vielleicht genuegt dieser Tip: [mm] $\phi$ [/mm] ist injektiv. Bei [mm] $\psi$ [/mm] geht es analog.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 13.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich habs leider noch nicht geschafft es mit dem Tipp zu lösen. Vlt. kannst du mir da nochmals weiterhelfen:
Dass [mm] \phi [/mm] injektiv folgt schon alleine aus Fred´s Tipp:
[mm] \psi \circ \phi [/mm] = id [mm] \Rightarrow \phi [/mm] injektiv [mm] \wedge \psi [/mm] surjektiv da die Identität bijektiv ist.
[mm] \forall (a_n)_{n\ge 1}, (b_n)_{n\ge 1} \in [/mm] V gilt:
[mm] \phi(\delta(a_1,a_2,a_3,...))=(0,0,0,...)=\phi(\delta(b_1,b_2,b_3,..))
[/mm]
Aus der Injektivität folgt [mm] \delta(a_1,a_2,a_3,..)=\delta(b_1,b_2,b_3,...)$ \forall (a_n)_{n\ge 1}, (b_n)_{n\ge 1} \in [/mm] $ V
D.h. [mm] \delta [/mm] bildet uabhängig von seinen Argumenten ab. Aber daraus folgt ja nicht, dass [mm] \delta [/mm] die Nullabbildung ist.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Fr 13.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Aus $ [mm] \psi \circ \phi [/mm] = [mm] id_V [/mm] $ und [mm] $\phi \circ \delta [/mm] =0$ folgt doch
$ [mm] \delta [/mm] = ( [mm] \psi \circ \phi [/mm] ) [mm] \circ \delta [/mm] = [mm] \psi \circ (\phi \circ \delta)=0$
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:02 Fr 13.02.2015 | | Autor: | fred97 |
[mm] $\psi \circ \phi [/mm] = [mm] id_V$
[/mm]
FRED
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