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| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Ermitteln sie f(t) und zeigen sie dass die Laplace Transformierte von f(t)
F(s) = [mm] \bruch{e^{-s}}{s(1+e^{-s})}
[/mm]
ist. |
Hallo,
Bei diesem Beispiel scheitere ich schon daran, aus der im Bild dargestellten Funktion f(t) herzuleiten. Ich hätte es mit einer Kombination aus [mm] \sigma [/mm] Funktionen probiert (in etwa so: [mm] \sigma [/mm] (t) - [mm] \sigma [/mm] (t-i) wobei i=1,2,3...), aber so kann ich nur den ersten Impuls darstellen, aber nicht die periodische Funktion. Dann hab ich probiert die Laplace Transformierte einfach rückzutransformieren, auch das will mir nicht ganz gelingen. Normlerweise hab ich kein Problem mit Laplacetransformation, aber dieses Bsp bereitet mir große Probleme.
Für Hilfe wär ich sehr dankbar!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja Deine Idee ist schon richtig, man sollte sich so eine Funktion zusammensetzen aus lauter positiven und negativen Sprungfunktionen, die man dann gliedweise in den Laplacebereich transformieren kann.
[mm] f(t) = \sigma(t-1) - \sigma(t-2) + \sigma(t-3) - \sigma(t-4) + - ....[/mm]
Das transformiert ergibt unter Beachtung des Verschiebungssatzes
[mm] F(s) = \bruch{1}{s}(e^{-s} - e^{-2s} + e^{-3s} - e^{-4s} + - ....) [/mm]
Das ein bischen umgeschrieben liefert
[mm] F(s) = \bruch{e^{-s}}{s} ( 1- e^{-s} + e^{-2s} - e^{-3s} + e^{-4s} + - ....) [/mm]
Der Ausdruck in der Klammer ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem Faktor
[mm] q = -e^{-s} [/mm]. Solch eine Reihe konvergiert gegen einen Grenzwert und den kann man hier einsetzen. Wie er lautet, kannst Du durch direken Vergleich sehen und er lässt sich auch gut ausrechnen, wenn man noch weiß, dass es da so was wie [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] gibt.
Leicht verblüffend, aber wahr 
Viele Grüße,
Infinit
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OMG, Danke!! Das ist ja wirklich ganz einfach! Vielen Dank für die gute Erklärung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Die Mathematik ist wirklich nicht schwer, aber die geometrische Reihe zu erkennen, das ist nicht ganz so einfach, wie ich gerne zugebe.
Viele Grüße,
Infinit
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