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| Aufgabe | Seien [mm]A_1, A_2, B_1, B_2[/mm] Mengen. Beweisen Sie:
[mm] (A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2) [/mm]
und geben Sie ein Beispiel an, für das in obiger Beziehung [mm]\not=[/mm] steht. |
Hallo Leute,
meine Frage ist, wie ich diesen Beweis beginnen soll. Sollte ich mir das x der Untermenge kleiner als einem y der Obermenge betrachten? Ich würde mich über eure Ratschläge freuen.
Gruß Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Mo 12.12.2011 | | Autor: | skoopa |
MoinMoin!
> Seien [mm]A_1, A_2, B_1, B_2[/mm] Mengen. Beweisen Sie:
>
> [mm](A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2)[/mm]
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> und geben Sie ein Beispiel an, für das in obiger Beziehung
> [mm]\not=[/mm] steht.
> Hallo Leute,
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> meine Frage ist, wie ich diesen Beweis beginnen soll.
> Sollte ich mir das x der Untermenge kleiner als einem y der
> Obermenge betrachten? Ich würde mich über eure
> Ratschläge freuen.
Also du beginnst in dem du dir ein Element aus [mm] $(A_1 \times B_1)$ [/mm] oder [mm] $(A_2 \times B_2)$ [/mm] nimmst, also ein Tupel der Art [mm] $(a_1, b_1)$ [/mm] mit [mm] $a_1\in A_1$ [/mm] und [mm] $b_1\in B_1$ [/mm] oder eben entsprechend aus der anderen Menge. Dann musst du zeigen, dass dieses Element auch in der Menge [mm] $(A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2)$ [/mm] enthalten ist.
Um dir erstmal klar zu machen, dass die Identität auch wirklich gilt, ist es meiner Meinung nach gut, zuerst ein Beispiel zu suchen, in dem die nicht Gleichheit gilt. Dann siehst du ein bisschen besser, wo es denn dann hakt und wie du den Beweis aufziehen musst.
>
> Gruß Christoph
Beste Grüße!
skoopa
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> MoinMoin!
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> > Seien [mm]A_1, A_2, B_1, B_2[/mm] Mengen. Beweisen Sie:
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> > [mm](A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2)[/mm]
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> >
> > und geben Sie ein Beispiel an, für das in obiger Beziehung
> > [mm]\not=[/mm] steht.
> > Hallo Leute,
> >
> > meine Frage ist, wie ich diesen Beweis beginnen soll.
> > Sollte ich mir das x der Untermenge kleiner als einem y der
> > Obermenge betrachten? Ich würde mich über eure
> > Ratschläge freuen.
>
> Also du beginnst in dem du dir ein Element aus [mm](A_1 \times B_1)[/mm]
> oder [mm](A_2 \times B_2)[/mm] nimmst, also ein Tupel der Art [mm](a_1, b_1)[/mm]
> mit [mm]a_1\in A_1[/mm] und [mm]b_1\in B_1[/mm] oder eben entsprechend aus
> der anderen Menge. Dann musst du zeigen, dass dieses
> Element auch in der Menge [mm](A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2)[/mm]
> enthalten ist.
> Um dir erstmal klar zu machen, dass die Identität auch
> wirklich gilt, ist es meiner Meinung nach gut, zuerst ein
> Beispiel zu suchen, in dem die nicht Gleichheit gilt. Dann
> siehst du ein bisschen besser, wo es denn dann hakt und wie
> du den Beweis aufziehen musst.
>
> >
> > Gruß Christoph
>
> Beste Grüße!
> skoopa
Danke für deine Antwort.
Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass beide gleich sind. Das kommt mir komisch vor. Dann bräuchte ich ja gar kein Bsp. Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt?
[mm] \left( x_1,y_1 \right) \in \left(A_1 \times B_1\right) \vee \left(x_2,y_2\right) \in (A_2 \times B_2) \gdw (x_1 \in A_1 \wedge y_1\in B_1)\vee (x_2 \in A_2 \wedge y_2\in B_2) \gdw (x_1 \vee x_2 \in A_1\cup A_2)\wedge (y_1 \vee y_2 \in B_1\cup B_2) \gdw (A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2) [/mm]
Gruß
Christoph
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Ich nenne mich nun meister_quitte^^(früher mathestuden). Die obige Frage bleibt aber aktuell.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:37 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich nenne mich nun meister_quitte^^(früher mathestuden).
Wahnsinn....
Auf diese Umbenennung hat die Welt gewartet.
FRED
> Die obige Frage bleibt aber aktuell.
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Sag mal. Ist was nich OK oder warum greifst du mich an? Du warst schon in ferner Vergangenheit so zu mir. Sprech doch bitte höflich mit mir. Respekt dürfte einem Doktor doch kein Fremdwort sein.
Gruß
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > MoinMoin!
> >
> > > Seien [mm]A_1, A_2, B_1, B_2[/mm] Mengen. Beweisen Sie:
> > >
> > > [mm](A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2)[/mm]
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> >
> > >
> > > und geben Sie ein Beispiel an, für das in obiger Beziehung
> > > [mm]\not=[/mm] steht.
> > > Hallo Leute,
> > >
> > > meine Frage ist, wie ich diesen Beweis beginnen soll.
> > > Sollte ich mir das x der Untermenge kleiner als einem y der
> > > Obermenge betrachten? Ich würde mich über eure
> > > Ratschläge freuen.
> >
> > Also du beginnst in dem du dir ein Element aus [mm](A_1 \times B_1)[/mm]
> > oder [mm](A_2 \times B_2)[/mm] nimmst, also ein Tupel der Art [mm](a_1, b_1)[/mm]
> > mit [mm]a_1\in A_1[/mm] und [mm]b_1\in B_1[/mm] oder eben entsprechend aus
> > der anderen Menge. Dann musst du zeigen, dass dieses
> > Element auch in der Menge [mm](A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2)[/mm]
> > enthalten ist.
> > Um dir erstmal klar zu machen, dass die Identität auch
> > wirklich gilt, ist es meiner Meinung nach gut, zuerst ein
> > Beispiel zu suchen, in dem die nicht Gleichheit gilt. Dann
> > siehst du ein bisschen besser, wo es denn dann hakt und wie
> > du den Beweis aufziehen musst.
> >
> > >
> > > Gruß Christoph
> >
> > Beste Grüße!
> > skoopa
>
> Danke für deine Antwort.
>
> Ich bin zu dem Schluss gekommen, dass beide gleich sind.
> Das kommt mir komisch vor. Dann bräuchte ich ja gar kein
> Bsp. Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt?
>
> [mm]\left( x_1,y_1 \right) \in \left(A_1 \times B_1\right) \vee \left(x_2,y_2\right) \in (A_2 \times B_2) \gdw (x_1 \in A_1 \wedge y_1\in B_1)\vee (x_2 \in A_2 \wedge y_2\in B_2) \gdw (x_1 \vee x_2 \in A_1\cup A_2)\wedge (y_1 \vee y_2 \in B_1\cup B_2) \gdw (A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2)[/mm]
Das stimmt nicht !
Die rechte Menge in der Behauptung ist doch
$ [mm] (A_1 \cup B_1) \times (A_2 \cup B_2) [/mm] $
Betrachte mal [mm] A_1 [/mm] = {1}, [mm] B_1 [/mm] = {2}, [mm] A_2 [/mm] = {3}, [mm] A_2 [/mm] = {4}
FRED
>
> Gruß
>
> Christoph
>
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Einzige Frage, die noch immer für mich bleibt ist, wie ich nun mit dem Beweis weiter fortfahre.
Kann mir jemand bitte Tips geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Mir fällt gerade auf, dass die Beh. doch wohl lautet:
$ [mm] (A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2) [/mm] $
Sei $(x,y) [mm] \in (A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2)$
[/mm]
Fall 1: (x,y) [mm] \in (A_1 \times B_1). [/mm] Dann ist x [mm] \in A_1 [/mm] und y [mm] \in B_1. [/mm] Folglich: x [mm] \in A_1 \cup A_2 [/mm] und y [mm] \in B_1 \cup B_2.
[/mm]
Daher: (x,y) [mm] \in (A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2) [/mm]
Fall 2: Fall 1: (x,y) [mm] \in (A_2 \times B_2) [/mm] Geht genauso
FRED
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Danke für deine Hilfe Fred. Deinen Ansatz bzgl. der Untermenge habe ich leider nicht verstanden. Warum machst du denn eine Fallunterscheidung? Beide Fälle sind doch dieselben?
Gruß
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Mo 12.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt nur " [mm] \subseteq" [/mm] . [mm] "\supseteq" [/mm] ist i.a. falsch.
Betrachte:
$ [mm] A_1 [/mm] $ = {1}, $ [mm] A_2 [/mm] $ = {2}, $ [mm] B_1 [/mm] $ = {3}, $ [mm] B_2 [/mm] $ = {4}
FRED
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> Es gilt nur " [mm]\subseteq"[/mm] . [mm]"\supseteq"[/mm] ist i.a. falsch.
>
> Betrachte:
>
> [mm]A_1[/mm] = {1}, [mm]A_2[/mm] = {2}, [mm]B_1[/mm] = {3}, [mm]B_2[/mm] = {4}
>
> FRED
N
Auf beiden Seiten kämen die Werte (1,3) oder (2,4) als Tupel in Frage. Mir ist noch nicht klar, was mir diese Betrachtung bringt. Wie geht es denn weiter?
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Hallo mq,
> > Es gilt nur " [mm]\subseteq" "="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%24$">%5Csubseteq![$]() . ![[/mm] . [mm]](http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$) " \supseteq""=""> ist i.a. falsch.
> >
> > Betrachte:
> >
> > ![$A_1[/mm] = {1}, <span class=]() > >
> > FRED
> N
>
> Auf beiden Seiten kämen die Werte (1,3) oder (2,4) als
> Tupel in Frage.
Linkerhand ok, wieso aber rechterhand?
> Mir ist noch nicht klar, was mir diese
> Betrachtung bringt. Wie geht es denn weiter?
Linkerhand ergibt sich die Vereinigung [mm]\{(1,3)\}\cup\{(2,4)\}=\{(1,3),(2,4)\}[/mm]
Rechterhand steht [mm](A_1\cup B_1)\times (A_2\cup B_2)=\{1,3\}\times\{2,4\}[/mm]
Wieviele Tupel kann man da bilden?
Schreibe dir diese letzte Menge mal explizit hin, dann siehst du, dass sie [mm]\neq \{(1,3),(2,4)\}[/mm] ist.
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank. Ich denke ich weiß die Lösung. Links kommen 2 Tupel und rechts 4 Tupel heraus. Stimmt's ?^^
Gruß
Christoph
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Hallo,
> Vielen Dank. Ich denke ich weiß die Lösung. Links kommen
> 2 Tupel und rechts 4 Tupel heraus. Stimmt's ?^^
So ist es!
>
> Gruß
>
> Christoph
>
LG
schachuzipus
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Vielen Dank für eure Hilfe. Ich habe es verstanden.
Gruß
Christoph> Hallo,
>
>
> > Vielen Dank. Ich denke ich weiß die Lösung. Links kommen
> > 2 Tupel und rechts 4 Tupel heraus. Stimmt's ?^^
>
> So ist es!
>
> >
> > Gruß
> >
> > Christoph
> >
>
> LG
>
> schachuzipus
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Oh, mir ist ein fataler Tippfehler passiert. Dat tut mir für alle Helfe außerordentlich leid. Es muss heißen [mm](A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2) [/mm].
Aber dan sind doch beide gleich oder?
Gruß
Christoph
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Hallo nochmal,
> Oh, mir ist ein fataler Tippfehler passiert. Dat tut mir
> für alle Helfe außerordentlich leid. Es muss heißen [mm](A_1 \times B_1) \cup (A_2 \times B_2) \subseteq (A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2) [/mm].
>
> Aber dan sind doch beide gleich oder?
Wieso meinst du das?
Was ändert sich denn "groß"?
Betrachte wieder das obige Bsp. mit den einelementigen Mengen
Wieviele Elemente stehen in der Menge linkerhand? Wieviele rechterhand?
Deine Frage kannst du doch auf einen Blick anhand der Mächtigkeit der Mengen entscheiden, ohne sie im Detail zu berechnen (was abernatürlich nicht schaden kann  )
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> Gruß
>
> Christoph
Zurück!
schachuzipus
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