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| Aufgabe | Sei $N$ eine Teilmenge der Menge $M$. Zeigen Sie dann, dass folgende Aussagen gelten:
(a) $N [mm] \cap C_{M}(N) [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
(b) $N [mm] \cup C_{M}(N) [/mm] = M$.
(c) [mm] $C_{M}(C_{M}(N))=N. [/mm] |
Guten Tag!
Ich wollte am Wochenende ein wenig üben und habe versucht, oben stehende Identitäten nachzuweisen. Nachfolgend findet ihr meine Überlegungen dazu.
Zur Information: Das Komplement haben wir wie folgt definiert.
[mm] $C_{M}(N)=\{x:x \in M \land x \notin N\}
[/mm]
(a) Sei $x [mm] \in [/mm] (N [mm] \cap C_{M}(N)) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \land [/mm] x [mm] \in C_{M}(N) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \land [/mm] x [mm] \notin [/mm] N [mm] \Rightarrow$ [/mm] Widerspruch bzw. leere Menge? Es ist offensichtlich, dass ein beliebig aber fest gewähltes x diese Voraussetzung nicht erfüllen kann.
(b) Sei $x [mm] \in [/mm] (N [mm] \cup C_{M}(N)) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \lor [/mm] x [mm] \in C_{M}(N) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \lor [/mm] x [mm] \notin [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] M$.
Darf man hier aus der Bedingung $x [mm] \in [/mm] N [mm] \lor [/mm] x [mm] \notin [/mm] N$ direkt folgern, dass dies $M$ entspricht? Ich würde dies befürworten, da die Voraussetzung $N [mm] \subseteq [/mm] M$ ist.
(c) Sei $x [mm] \in (C_{M}(C_{M}(N))) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in C_{M}(\lnot [/mm] (N)) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \lnot (\lnot [/mm] (N)) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] N$.
Ich würde mich sehr über Rückmeldung dazu freuen, da ich mir an einigen Stellen unsicher bin. Eine generelle Frage habe ich beispielsweise noch zur Definition des Komplements: In meinen obigen Folgerungen habe ich stets nur die Komplement-Eigenschaft $x [mm] \notin [/mm] N$ genutzt. Ist es entsprechend in Ordnung, dass ich $x [mm] \in [/mm] M$ vernachlässige oder müsste ich diese Eigenschaft aus der Definition immer noch miteinbeziehen?
Beste Grüße und einen sonnigen Sonntag,
mathe_thommy
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Hallo,
vorneweg: das sieht im Großen und Ganzen alles richtig aus.
> Sei [mm]N[/mm] eine Teilmenge der Menge [mm]M[/mm]. Zeigen Sie dann, dass
> folgende Aussagen gelten:
> (a) [mm]N \cap C_{M}(N) = \emptyset[/mm].
> (b) [mm]N \cup C_{M}(N) = M[/mm].
>
> (c) [mm]C_{M}(C_{M}(N))=N.[/mm]
> Guten Tag!
>
> Ich wollte am Wochenende ein wenig üben und habe versucht,
> oben stehende Identitäten nachzuweisen. Nachfolgend findet
> ihr meine Überlegungen dazu.
>
> Zur Information: Das Komplement haben wir wie folgt
> definiert.
> [mm]C_{M}(N)=\{x:x \in M \land x \notin N\}[/mm]
>
> (a) Sei [mm]x \in (N \cap C_{M}(N)) \Rightarrow x \in N \land x \in C_{M}(N) \Rightarrow x \in N \land x \notin N \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch bzw. leere Menge? Es ist offensichtlich, dass
> ein beliebig aber fest gewähltes x diese Voraussetzung
> nicht erfüllen kann.
Ja, das passt.
>
> (b) Sei [mm]x \in (N \cup C_{M}(N)) \Rightarrow x \in N \lor x \in C_{M}(N) \Rightarrow x \in N \lor x \notin N \Rightarrow M[/mm].
> Darf man hier aus der Bedingung [mm]x \in N \lor x \notin N[/mm]
> direkt folgern, dass dies [mm]M[/mm] entspricht? Ich würde dies
> befürworten, da die Voraussetzung [mm]N \subseteq M[/mm] ist.
U.a. wegen dieser Voraussetzung ist auch hier alles richtig. Mehr dazu am Ende meines Beitrags.
> (c) Sei [mm]x \in (C_{M}(C_{M}(N))) \Rightarrow x \in C_{M}(\lnot (N)) \Rightarrow x \in \lnot (\lnot (N)) \Rightarrow x \in N[/mm].
>
Hier ist dein Gedankengang der richtige, bei der Schreibweise habe ich Bedenken wegen der Verwendung von logischen Operatoren auf Mengen. Das müsstest du für dich selbst nochmals nachprüfen, aber wie gesagt: das, was du meinst, ist richtig.
> Ich würde mich sehr über Rückmeldung dazu freuen, da ich
> mir an einigen Stellen unsicher bin. Eine generelle Frage
> habe ich beispielsweise noch zur Definition des
> Komplements: In meinen obigen Folgerungen habe ich stets
> nur die Komplement-Eigenschaft [mm]x \notin N[/mm] genutzt. Ist es
> entsprechend in Ordnung, dass ich [mm]x \in M[/mm] vernachlässige
> oder müsste ich diese Eigenschaft aus der Definition immer
> noch miteinbeziehen?
Bei so gestellten Aufgaben wird vorausgesetzt, dass sich alles in der Menge M abspielt, sonst müsste die Aufgabe an dieser Stelle Hinweise enthalten, dass auch Elemente außerhalb von M betrachtet werden.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 So 30.04.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathe_thommy!
> (a) Sei [mm]x \in (N \cap C_{M}(N)) \Rightarrow x \in N \land x \in C_{M}(N) \Rightarrow x \in N \land x \notin N \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch
Genau, die Annahme [mm] $x\in N\cap C_M(N)$ [/mm] führt auf einen Widerspruch.
Also kann es kein [mm] $x\in N\cap C_M(N)$ [/mm] geben, d.h. [mm] $N\cap C_M(N)$ [/mm] ist die leere Menge.
> (b) Sei [mm]x \in (N \cup C_{M}(N)) \Rightarrow x \in N \lor x \in C_{M}(N) \Rightarrow x \in N \lor x \notin N \Rightarrow M[/mm].
Du meinst am Ende vermutlich [mm] $x\in [/mm] M$ statt einfach nur M.
In einem Ausdruck der Form [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ müssen A und B Aussagen, nicht etwa Mengen sein. (Was sollte "es folgt M" bedeuten?)
> Darf man hier aus der Bedingung [mm]x \in N \lor x \notin N[/mm]
> direkt folgern, dass dies [mm]M[/mm] entspricht?
(Was meinst du mit "dies"?)
Nein, wenn $x$ irgendein Objekt mit [mm] $x\in N\vee x\notin [/mm] N$ ist, muss noch lange nicht [mm] $x\in [/mm] M$ gelten.
> Ich würde dies
> befürworten, da die Voraussetzung [mm]N \subseteq M[/mm] ist.
Damit kannst du im Falle [mm] $x\in [/mm] N$ argumentieren.
Was ist im Falle [mm] $x\notin [/mm] N$?
Dann benötigst du [mm] $x\in C_M(N)$, [/mm] um auf [mm] $x\in [/mm] M$ zu schließen.
Damit ist gezeigt: Jedes [mm] $x\in N\cup C_M(N)$ [/mm] erfüllt [mm] $x\in [/mm] M$, d.h. es gilt [mm] $N\cup C_M(N)\subseteq [/mm] M$.
Nun ist noch [mm] $M\subseteq N\cup C_M(N)$ [/mm] zu zeigen, d.h. nachzuweisen ist [mm] $x\in N\cup C_M(N)$ [/mm] für jedes [mm] $x\in [/mm] M$.
Sei also [mm] $x\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben.
Um [mm] $x\in N\cup C_M(N)$ [/mm] nachzuweisen, unterscheide die Fälle [mm] $x\in [/mm] N$ und [mm] $x\notin [/mm] N$.
> (c) Sei [mm]x \in (C_{M}(C_{M}(N))) \Rightarrow x \in C_{M}(\lnot (N)) \Rightarrow x \in \lnot (\lnot (N)) \Rightarrow x \in N[/mm].
Was soll [mm] $\neg [/mm] N$ für eine Menge N bedeuten?
(Ich kenne nur [mm] $\neg [/mm] A$ für Aussagen A, nicht für Mengen A.)
(Falls das eine (eigen-kreierte) Notation für [mm] $C_M(N)$ [/mm] sein soll, ist dein letzter Folgerungspfeil zu begründen.)
Du kannst wie folgt beginnen:
Sei [mm] $x\in C_M(C_M(N))$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $x\in [/mm] N$.
Angenommen [mm] $x\notin [/mm] N$ (*).
Zu zeigen ist ein Widerspruch.
Wegen [mm] $x\in C_M(C_M(N))$ [/mm] ist [mm] $x\in [/mm] M$ (**) und [mm] $x\notin C_M(N)$ [/mm] (***).
Siehst du, wie wir den gewünschten Widerspruch erhalten können?
Damit wäre dann [mm] $C_M(C_M(N))\subseteq [/mm] N$ gezeigt.
Bleibt noch [mm] $N\subseteq C_M(C_M(N))$ [/mm] zu zeigen.
Sei also [mm] $x\in [/mm] N$.
Zu zeigen ist [mm] $x\in C_M(C_M(N))$, [/mm] d.h. nachzuweisen ist ...
> Eine generelle Frage
> habe ich beispielsweise noch zur Definition des
> Komplements: In meinen obigen Folgerungen habe ich stets
> nur die Komplement-Eigenschaft [mm]x \notin N[/mm] genutzt. Ist es
> entsprechend in Ordnung, dass ich [mm]x \in M[/mm] vernachlässige
> oder müsste ich diese Eigenschaft aus der Definition immer
> noch miteinbeziehen?
Bei a) kommst du ohne diesen Teil aus, bei b) und c) nicht.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo tobit09!
Besten Dank für deine ausführlichen Anmerkungen!
Nachfolgend findest du ein paar Rückfragen von mir.
> > (b) Sei [mm]x \in (N \cup C_{M}(N)) \Rightarrow x \in N \lor x \in C_{M}(N) \Rightarrow x \in N \lor x \notin N \Rightarrow M[/mm].
> Du meinst am Ende vermutlich [mm]x\in M[/mm] statt einfach nur M.
> In einem Ausdruck der Form [mm]A\Rightarrow B[/mm] müssen A und B
> Aussagen, nicht etwa Mengen sein. (Was sollte "es folgt M"
> bedeuten?)
Du hast recht, das war ein Notationsfehler von mir!
Gemeint ist selbstverständlich $x [mm] \in [/mm] M$ als Folgerung.
> > Darf man hier aus der Bedingung [mm]x \in N \lor x \notin N[/mm]
> > direkt folgern, dass dies [mm]M[/mm] entspricht?
> (Was meinst du mit "dies"?)
> Nein, wenn [mm]x[/mm] irgendein Objekt mit [mm]x\in N\vee x\notin N[/mm]
> ist, muss noch lange nicht [mm]x\in M[/mm] gelten.
Mit "dies" meine ich die zuvor genannte Bedingung $x [mm] \in [/mm] N [mm] \lor [/mm] x [mm] \notin [/mm] N$. Ich habe folgendes Verständnisproblem. Du schreibst, dass man aufgrund der Voraussetzung $N [mm] \subseteq [/mm] M$ aus der Aussage $x [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M$ folgern kann. Das ist verständlich für mich.
Nun steht dort jedoch $x [mm] \in [/mm] N [mm] \lor [/mm] x [mm] \notin [/mm] N$. Im Falle $x [mm] \in [/mm] N$ haben wir bereits gesagt, dass nach oben stehender Voraussetzung $x [mm] \in [/mm] M$ folgt. Ich verstehe jedoch nicht, wieso aus $x [mm] \notin [/mm] N$ nicht $x [mm] \in [/mm] M$ folgt.
Wir starten doch mit $x [mm] \in [/mm] (N [mm] \cup C_{M}(N))$. [/mm] Wenn ich dies nun umforme, erhalte ich $x [mm] \in [/mm] N [mm] \lor [/mm] x [mm] \in C_{M}(N)$. [/mm] Das Komplement haben wir wie folgt definiert: [mm] $C_{M}(N)=\{x:x \in M \land x \notin N\}$. [/mm] Entsprechend erhalte ich durch weitere Umformung doch quasi $x [mm] \in [/mm] N [mm] \lor [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \land [/mm] x [mm] \notin [/mm] N)$. Aus diesem Ausdruck folgt doch bedingungslos, dass $x [mm] \in [/mm] M$ - oder habe ich hier einen dicken Denkfehler drin?
In der Definition des Komplements ist meiner Meinung nach schon enthalten, was du versuchst zusätzlich nachzuweisen, oder?
Ich würde mich freuen, nochmals von dir zu hören.
Vermutlich stehe ich gerade auf dem Schlauch...
Besten Dank und viele Grüße
mathe_thommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Mo 01.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe folgendes Verständnisproblem. Du schreibst, dass
> man aufgrund der Voraussetzung [mm]N \subseteq M[/mm] aus der
> Aussage [mm]x \in N \Rightarrow x \in M[/mm] folgern kann. Das ist
> verständlich für mich.
> Nun steht dort jedoch [mm]x \in N \lor x \notin N[/mm]. Im Falle [mm]x \in N[/mm]
> haben wir bereits gesagt, dass nach oben stehender
> Voraussetzung [mm]x \in M[/mm] folgt.
Ja.
> Ich verstehe jedoch nicht,
> wieso aus [mm]x \notin N[/mm] nicht [mm]x \in M[/mm] folgt.
Wenn wir von irgendeinem Objekt $x$ nur [mm] $x\notin [/mm] N$ wüssten, könnte auch [mm] $x\notin [/mm] M$ gelten.
(Beweis:
Nimm einfach irgendein Objekt x, dass nicht Element von M ist.
Dann gilt (wegen [mm] $N\subseteq [/mm] M$) auch [mm] $x\notin [/mm] N$ und gleichzeitig [mm] $x\notin [/mm] M$.)
> Wir starten doch mit [mm]x \in (N \cup C_{M}(N))[/mm]. Wenn ich
> dies nun umforme, erhalte ich [mm]x \in N \lor x \in C_{M}(N)[/mm].
> Das Komplement haben wir wie folgt definiert:
> [mm]C_{M}(N)=\{x:x \in M \land x \notin N\}[/mm]. Entsprechend
> erhalte ich durch weitere Umformung doch quasi [mm]x \in N \lor (x \in M \land x \notin N)[/mm].
> Aus diesem Ausdruck folgt doch bedingungslos, dass [mm]x \in M[/mm]
Diese Argumentation ist (im Gegensatz zu der aus dem Ausgangspost) völlig korrekt und vollständig.
> - oder habe ich hier einen dicken Denkfehler drin?
Nein.
> In der Definition des Komplements ist meiner Meinung nach
> schon enthalten,
Genau: In der Definition von [mm] $x\in C_M(N)$ [/mm] ist insbesondere die Bedingung [mm] $x\in [/mm] M$ "enthalten".
Darauf (nicht etwa ausschließlich auf [mm] $x\notin [/mm] N$) gilt es zu verweisen, um im Falle [mm] $x\in C_M(N)$ [/mm] auf [mm] $x\in [/mm] M$ schließen zu können.
> was du versuchst zusätzlich nachzuweisen, oder?
Auch ich verweise in meiner vorherigen Antwort hier lediglich darauf, dass wir [mm] $x\in C_M(N)$ [/mm] ausnutzen sollten, um auf [mm] $x\in [/mm] M$ schließen zu können.
Zusammengefasst ein kompletter Formulierungsvorschlag für den Nachweis von [mm] $N\cup C_M(N)\subseteq [/mm] M$:
Sei [mm] $x\in N\cup C_M(N)$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $x\in [/mm] M$.
Wegen [mm] $x\in N\cup C_M(N)$ [/mm] gilt [mm] $x\in [/mm] N$ oder [mm] $x\in C_M(N)$.
[/mm]
Falls [mm] $x\in [/mm] N$ gilt, folgt [mm] $x\in [/mm] M$ aus [mm] $N\subseteq [/mm] M$.
Falls [mm] $x\in C_M(N)$ [/mm] gilt, folgt [mm] $x\in [/mm] M$ aus der Definition von [mm] $C_M(N)$.
[/mm]
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Guten Abend Tobias,
besten Dank für deine ausführliche Hilfe! Ich habe mir deine Erklärungen in Ruhe angeschaut und nun alles begriffen.
Nachfolgend noch einmal eine Frage zu Aufgabenteil (c).
> Was soll $ [mm] \neg [/mm] N $ für eine Menge N bedeuten?
> (Ich kenne nur $ [mm] \neg [/mm] A $ für Aussagen A, nicht für Mengen A.)
> (Falls das eine (eigen-kreierte) Notation für $ [mm] C_M(N) [/mm] $ sein soll, ist dein
> letzter Folgerungspfeil zu begründen.)
> Du kannst wie folgt beginnen:
> Sei $ [mm] x\in C_M(C_M(N)) [/mm] $.
> Zu zeigen ist $ [mm] x\in [/mm] N $.
> Angenommen $ [mm] x\notin [/mm] N $ (*).
> Zu zeigen ist ein Widerspruch.
> Wegen $ [mm] x\in C_M(C_M(N)) [/mm] $ ist $ [mm] x\in [/mm] M $ (**) und $ [mm] x\notin C_M(N) [/mm] $
> (***).
> Siehst du, wie wir den gewünschten Widerspruch erhalten können?
Ich glaube, ich weiß, was du hier meinst. Aufgrund der Definition unseres Komplements löst du zuerst das "äußere" Komplement auf, sodass
[mm] $x\in C_M(C_M(N)) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \land [/mm] x [mm] \notin C_{M}(N)$.
[/mm]
Der Ausdruck $x [mm] \notin C_{M}(N)$ [/mm] fordert nun eine Negation der Definition des Komplements, richtig?
Aus $x [mm] \in C_{M}(N) [/mm] = [mm] \{x:x \in M \land x \notin N\}$ [/mm] müsste also $x [mm] \notin C_{M}(N)=\{x:x \notin M \lor x \in N\}$ [/mm] werden, korrekt?
Damit entstünde die Folgerung [mm] $x\in C_M(C_M(N)) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \land [/mm] x [mm] \notin C_{M}(N) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \land [/mm] (x [mm] \notin [/mm] M [mm] \lor [/mm] x [mm] \in [/mm] N)$.
Somit haben wir einen Widerspruch zur Annahme herbeigeführt, da entweder $x [mm] \in [/mm] M [mm] \land [/mm] x [mm] \notin [/mm] M$ oder $x [mm] \in [/mm] M [mm] \land [/mm] x [mm] \in [/mm] N$.
> Damit wäre dann $ [mm] C_M(C_M(N))\subseteq [/mm] N $ gezeigt.
> Bleibt noch $ [mm] N\subseteq C_M(C_M(N)) [/mm] $ zu zeigen.
> Sei also $ [mm] x\in [/mm] N $.
> Zu zeigen ist $ [mm] x\in C_M(C_M(N)) [/mm] $, d.h. nachzuweisen ist ...
Hier ist mir leider nicht klar, wie ich von der Annahme $x [mm] \in [/mm] N$ Umformungen nutzen kann, um bei $ [mm] x\in C_M(C_M(N)) [/mm] $ zu landen. Möglicherweise könntest Du mir hier noch einen Tipp geben?
Einen schönen Abend wünscht
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Di 02.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
> > Du kannst wie folgt beginnen:
>
> > Sei [mm]x\in C_M(C_M(N)) [/mm].
> > Zu zeigen ist [mm]x\in N [/mm].
>
> > Angenommen [mm]x\notin N[/mm] (*).
> > Zu zeigen ist ein Widerspruch.
>
> > Wegen [mm]x\in C_M(C_M(N))[/mm] ist [mm]x\in M[/mm] (**) und [mm]x\notin C_M(N)[/mm]
> > (***).
>
> > Siehst du, wie wir den gewünschten Widerspruch erhalten
> können?
Ich dachte an folgende Argumentation:
(**) und (*) implizieren [mm] $x\in C_M(N)$ [/mm] im Widerspruch zu (***), fertig.
> Ich glaube, ich weiß, was du hier meinst. Aufgrund der
> Definition unseres Komplements löst du zuerst das
> "äußere" Komplement auf, sodass
> [mm]x\in C_M(C_M(N)) \Rightarrow x \in M \land x \notin C_{M}(N)[/mm].
Ja.
> Der Ausdruck [mm]x \notin C_{M}(N)[/mm] fordert nun eine Negation
> der Definition des Komplements, richtig?
Das ist auch ein möglicher Lösungsweg.
> Aus [mm]x \in C_{M}(N) = \{x:x \in M \land x \notin N\}[/mm]
> müsste also [mm]x \notin C_{M}(N)=\{x:x \notin M \lor x \in N\}[/mm]
> werden, korrekt?
Du meinst es korrekt, aber so wie du es notiert hast, stimmt es nicht:
Es gilt NICHT [mm] $C_M(N)=\{x:x\notin M\lor x\in N\}$.
[/mm]
Etwas ungünstig ist hier die Kollision der Verwendung von x sowohl für ein Element von [mm] $C_M(N)$, [/mm] als auch als Variable für die Darstellung von [mm] $C_M(N)$. [/mm]
Es gilt [mm] $x\notin C_M(N)=\{y:y\in M\wedge y\notin N\}$, [/mm] also [mm] $x\notin M\vee x\in [/mm] N$.
> Damit entstünde die Folgerung [mm]x\in C_M(C_M(N)) \Rightarrow x \in M \land x \notin C_{M}(N) \Rightarrow x \in M \land (x \notin M \lor x \in N)[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Somit haben wir einen Widerspruch zur Annahme
> herbeigeführt, da entweder [mm]x \in M \land x \notin M[/mm] oder [mm]x \in M \land x \in N[/mm].
Genau, wir haben [mm] $x\in M\wedge x\notin [/mm] M$ (was natürlich ein Widerspruch darstellt) oder [mm] $x\in M\wedge x\in [/mm] N$ (was [mm] $x\in [/mm] N$ impliziert und daher meiner Annahme [mm] $x\notin [/mm] N$ widerspricht).
Bei deinem Weg (der u.a. [mm] "$\neg(x\in M\wedge x\notin [/mm] N)$ impliziert [mm] $\neg(x\in [/mm] M) [mm] \vee \neg(x\notin [/mm] N)$" gemäß de-Morganscher Regel verwendet) benötigst du den von mir vorgeschlagenen indirekten Beweis gar nicht:
Streiche meinen Vorschlag, argumentiere dann wie von dir vorgeführt, dass [mm] $x\in C_M(C_M(N))$ [/mm] die Bedingung [mm] "$x\in M\wedge x\notin [/mm] M$ oder [mm] $x\in M\wedge x\in [/mm] N$" impliziert.
Argumentiere dann damit, dass der Fall [mm] $x\in M\wedge x\notin [/mm] M$ ausgeschlossen ist und daher der Fall [mm] $x\in M\wedge x\in [/mm] N$ vorliegt.
Somit gilt insbesondere [mm] $x\in [/mm] N$.
Damit ist [mm] $C_M(C_M(N))\subseteq [/mm] N$ (ohne explizite Verwendung eines indirekten Beweises) gezeigt.
> > Damit wäre dann [mm]C_M(C_M(N))\subseteq N[/mm] gezeigt.
> > Bleibt noch [mm]N\subseteq C_M(C_M(N))[/mm] zu zeigen.
>
> > Sei also [mm]x\in N [/mm].
> > Zu zeigen ist [mm]x\in C_M(C_M(N)) [/mm], d.h. nachzuweisen ist ...
>
> Hier ist mir leider nicht klar, wie ich von der Annahme [mm]x \in N[/mm]
> Umformungen nutzen kann, um bei [mm]x\in C_M(C_M(N))[/mm] zu landen.
> Möglicherweise könntest Du mir hier noch einen Tipp
> geben?
Wenn du lieber mit Umformungen arbeiten möchtest:
Es gelten (wie von dir im Grunde schon überlegt) die Äquivalenzen
(*) [mm] $x\in C_M(C_M(N))\iff x\in M\wedge x\notin C_M(N)\iff x\in M\wedge(x\notin M\vee x\in N)\iff (x\in M\wedge x\notin M)\vee (x\in M\wedge x\in [/mm] N)$.
Sei nun [mm] $x\in [/mm] N$. (**)
Zu zeigen ist [mm] $x\in C_M(C_M(N))$.
[/mm]
Gemäß (*) genügt es zu zeigen: [mm] (x\in M\wedge x\notin M)\vee (x\in M\wedge x\in [/mm] N).
Weise dies nach, indem du [mm] $x\in M\wedge x\in [/mm] N$ nachweist.
Weise dazu nacheinander [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $x\in [/mm] N$ nach.
(Gut, [mm] $x\in [/mm] N$ ist nach (**) geschenkt. Bleibt noch [mm] $x\in [/mm] M$ zu begründen.)
Alternativ der von mir angedachte Weg:
Sei [mm]x\in N [/mm]. (***)
Zu zeigen ist [mm]x\in C_M(C_M(N)) [/mm], d.h. nachzuweisen ist [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $x\notin C_M(N)$.
[/mm]
Die Bedingung [mm] $x\in [/mm] M$ folgt aus [mm] $x\in [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$.
Nun zum Nachweis von [mm] $x\notin C_M(N)$:
[/mm]
Angenommen doch [mm] $x\in C_M(N)$.
[/mm]
Dann wäre [mm] $x\notin [/mm] N$ im Widerspruch zu (***).
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