Rechenregeln der Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 So 02.01.2011 | | Autor: | Risin |
| Aufgabe | Das Integral [mm] \integral_{-2}^{2}{f(x) dx} [/mm] = 3 ist bekannt. Machen Sie Aussagen über:
a) [mm] \integral_{-2}^{2}{(2*f(x)) dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{-2}^{2}{(f(x) + 1)dx}
[/mm]
c) [mm] \integral_{-2}^{2}{(-f(x)) dx}
[/mm]
d) [mm] \integral_{2}^{-2}{(-f(x)) dx} [/mm] |
Meine Frage bezieht sich auf die Analysis. Ich muss nach den Ferien eine Mathe-GFS (GFS = größeres Referat, zählt wie eine Klassenarbeitsnote) über die Rechenregeln der Integration halten. Die Regeln habe ich alle verstanden, nun habe ich dennoch zwei Fragen dazu.
1. Im Schulbuch ist eine Aufgabe, welche ich der Klasse vorstellen soll, nachdem ich die Rechenregeln erklärt habe. Wie diese aussieht, seht oben!
Das Integral ist also bekannt, nun soll ich über verschiedene "Abwandlungen" des Integrals Aussagen machen.
Meine Frage: Was für Aussagen werden hier verlangt? Ich verstehe nicht , was genau ich zu den Integralen sagen soll.
Mein Ansatz:
a) Hier wurde der konstante Faktor 2 vor f(x) gesetzt. Die Faktorregel besagt ja, dass der konstante Faktor (hier: 2) auch vor das Integral gezogen werden kann. Da das gegebene Integral =3 ergibt, müsste demnach bei a) als Ergebnis 6 herauskommen.
b) Hier kann man die Summenregel benutzen. Man könnte die Summe auseinander ziehen, in zwei Teile teilen.
c) Hier wurde wieder die Faktorregel angewandt, und zwar wurde ein (−1) vor f(x) gesetzt.
d) Hier wurden die Intervallgrenzen ausgetauscht.
Weiß jemand von euch weitere Aussagen? Da meine nicht ausreichend sind, schätze ich. Wäre euch sehr, sehr dankbar!
Womit ich gleich zu meiner zweiten Frage komme.
2. Ich soll eine der Rechenregeln (z.B. die Faktorregel) für die Integration beweisen. Reicht dies durch Einsetzen und Vorrechnen konkreter Zahlenbeispiele? Oder wie wäre dies noch möglich? Ich habe noch nie in Mathe eine Regel beweisen müssen, daher die Frage.
Danke im Voraus für jede Antwort!
Gruß
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Integral-bekann-Aussagen-%C3%BCber-Beispiele-gesucht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 So 02.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Aussagen würde ich jetzt als "Rechne aus und sag, wie du darauf kommst!" deuten.
a) Genau, hier kann man die 2 vor das Integral ziehen und erhält als Ergebnis 6.
b) Ja, auseinderziehen bringt dann [mm] \integral_{2-}^{2}{f(x) dx}+\integral_{-2}^{2}{1 dx}. [/mm] Das 1. Integral ist ja 2 und das 2. lässt sich auch leicht berechnen. Das solltest du noch tun!
c) Ja, - rausziehen und das Ergebnis ist dann -3.
d) Es gilt: Vertauscht man die Integrationsgrenzen, so ändert sich das Vorzeichen des Integrals. Kannst du ja mal an ein paar selbst gewählten Beispielen durchtesten, falls ihr das noch nicht hattet. Das Ergebnis ist also hier -(-3)=3, weil es das gleiche Integral wie c) ist, nur mit vertauschten Grenzen.
Zum Beweis: Mit Beispielen kannst du selten etwas beweisen, weil ja die Sache, die du eigentlich zeigen willst, für eine Zahl falsch ist, die du noch nicht probiert hast.
Um das zu zeigen könntest du vielleicht etwas mit Ober-/Untersumme rumargumentieren. Oder wie genau habt ihr denn das bestimmte Integral eingeführt? Doch auch bestimmt mit Rechtecken unter der Kurve, die immer dünner werden.
So, und angenommen, du hast jetzt eine Funktion f(x) gegeben, von der du den Flächeninhalt unter der Kurve kennst (von a bis b). Dann kannst du die Funktion um den Faktor c strecken (z.B. 2). Wenn du nun wieder die Rechtecke unter der Kurve von c*f(x) anguckst, dann wird die Höhe der ganzen Rechtecke ja auch um c gestreckt. Und was gilt dann für die Fläche unter dem Grafen von c*f(x)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Risin |
@Teufel: Zuerst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Meine Ergebnisse sind nun folgende:
a) 6
b) 7
c) -3
d) 3
Stimmen die??
Zu deinem Beweisvorschlag:
Ich weiß leider nicht, was du mit Ober- / Untersumme meinst. Wir Schüler müssen uns allgemein in Mathe viel selbst beibringen, da unser Lehrer (relativ) unfähig ist, uns etwas zu erklären.
Zu deinem Ansatz mit keiner werdenden Rechtecken:
Soetwas steht in unserem Schulbuch. Dort sind zwei Schaubilder abgebildet, beide gehören zu der Faktorregel.
Hab's mal abfotografiert, leider nicht besonders scharf!
Einfach dem Link hier folgen:
![[]](/images/popup.gif) http://img228.imageshack.us/img228/5464/001ymg.jpg
Ich verstehe leider nicht genau den Zusammenhang dieser Schaubilder, sonst könnte ich damit sicher die Faktorregel beweisen.
Kann mir jemand helfen??
Danke im Voraus!
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Hallo!
zunächst sind deine Antworten korrekt.
Beachte bei deiner schriftlichen Erklärung im ersten Beitrag, daß im letzten Fall sowohl eine -1 rein multipliziert wurde, als auch die Grenzen vertauscht wurden.
Zu den Beweisen:
So ein Integral mit Grenzen gibt dir ja die Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse zwischen den Grenzen an, wobei negative Beiträge enstehen, wenn die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft.
Wenn man vom Integrieren keine Ahnung hat, wird man zunächst solche Rechtecke wie in deinem Bild zwischen Funktion und x-Achse nebeneinander setzen, sodaß sie sich mit ihren vertikalen Seiten berühren, und mit ihrer linken, oberen Ecke die Funktion berühren. Die Gesamtfläche beschreibt die Fläche unter der Funktion halbwegs gut, allerdings ist sie etwas zu klein, da diese dreieckigen Stücke noch fehlen.
Im nächsten Schritt nimmt man schmalere Rechtecke, und erhält ein genaueres Ergebnis, weil diese fehlenden Dreiecke kleiner sind.
Und dann macht man eine Grenzfallbetrachtung für unendlich schmale Rechtecke, und dadurch kommt man dann algebraisch auf die Stammfunktion der gegebenen Funktion.
Die Summe der Rechteckflächen ist die Untersumme.
Auf die Obersumme kommst du, wenn du in einem Bild die rechte obere Ecke der Rechtecke die Funktion berühren läßt, die Summe ist allerdings stets etwas zu groß...
Es würde nun zu weit führen, das noch weiter auszuführen.
Aber deine Faktorregel erkennst du gut auf deinem Bild: Wenn du aus [mm] $f(x)=x^2 [/mm] \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] f(x)=\frac{1}{2}x^2$ [/mm] machst, ist die Funktion - und damit die Rechtecke - an jedem x-Wert nur noch halb so hoch. Und damit ist die Fläche der Rechtecke auch halb so groß, und damit letztendlich auch die Stammfunktion und dein Integralwert.
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![[]](http://img228.imageshack.us/img228/5464/001ymg.jpg ){kind=small}
http://img228.imageshack.us/img228/5464/001ymg.jpg