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Reaper: Beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Di 01.02.2005
Autor: Reaper

Hallo
Bsp..: Seinen$ [mm] (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}) [/mm] und  [mm] (w_{1},w_{2},w_{3},w_{4})$ [/mm]
Basen des K-Vektorraums V. Man zeige: Es exisitiern $  [mm] \lambda_{1} [/mm] ,  [mm] \lambda_{2}, \lambda_{3}$ [/mm] aus K, sodaß:
[mm] $(v_{1} [/mm] -  [mm] \lambda_{1} v_{4}, v_{2} [/mm] -  [mm] \lambda_{2} v_{4}, v_{3} [/mm] -  [mm] \lambda_{3} v_{4}$ [/mm] eine Basis von$ [mm] L(w_{1}, w_{2}, w_{3})$ [/mm] ist.

Wie gehe ich das Beispiel überhaupt an?

        
Bezug
Reaper: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:57 Di 01.02.2005
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Hannes,

da ja [mm] w_1,w_2,w_3 \in L(v_1,v_2,v_3,v_4) [/mm] gibt es Zahlen [mm]a_{ij}[/mm], so dass:
[mm] w_1=a_{11}v_1+a_{12}v_2+a_{13}v_3+a_{14}v_4 [/mm]
[mm] w_2=a_{21}v_1+a_{22}v_2+a_{23}v_3+a_{24}v_4 [/mm]
[mm] w_3=a_{31}v_1+a_{32}v_2+a_{33}v_3+a_{34}v_4 [/mm]

Sei nun [mm]v\in L(w_1,w_2,w_3)[/mm], d.h.
[mm]x=\mu_1w_1+\mu_2w_2+\mu_3w_3[/mm]

Dann ist das in v's ausgedrückt
[mm]x=\mu_1(a_{11}v_1+a_{12}v_2+a_{13}v_3+a_{14}v_4)+[/mm]
[mm]+\mu_2(a_{21}v_1+a_{22}v_2+a_{23}v_3+a_{24}v_4)+[/mm]
[mm]+\mu_3(a_{31}v_1+a_{32}v_2+a_{33}v_3+a_{34}v_4)[/mm]

Wenn du diese Gleichung geeignet umformst, kannst du die Lambdas ablesen.

Hugo

Bezug
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