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Real-und Imaginärteil: Richtigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Di 02.11.2021
Autor: b.reis

Aufgabe
Seien a, b ∈ R mit [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \not= [/mm] 0, n ∈ N. Bestimmen Sie jeweils den Real- und Imaginärteil von:

[mm] (a+ib)^2 +(b-ia)^2 [/mm]

Hallo,

Ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst,
[mm] (a+ib)^2 +(b-ia)^2 [/mm]
=
[mm] a^2 [/mm] +2*a*ib+ [mm] (ib)^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] -2*b*ia+ [mm] (ia)^2 [/mm]
=
[mm] a^2 +b^2 +i^2 *b^2 +i^2*a^2 [/mm]
=
[mm] a^2+b^2+i^2(b^2+a^2) [/mm]
=
[mm] a^2+b^2-1(a^2+b^2) [/mm]
=
[mm] a^2+b^2-b^2-a^2 [/mm]
=
0

Stimmt das so?
Grüße
Benni

        
Bezug
Real-und Imaginärteil: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 Di 02.11.2021
Autor: chrisno

Deine Umformungen sind richtig, für meinen Geschmack etwas umständlich.
Wie lautet nun die Antwort auf die Frage?

Bezug
        
Bezug
Real-und Imaginärteil: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Mi 03.11.2021
Autor: fred97


> Seien a, b ∈ R mit [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2 \not=[/mm] 0, n ∈ N. Bestimmen
> Sie jeweils den Real- und Imaginärteil von:
>  
> [mm](a+ib)^2 +(b-ia)^2[/mm]
>  Hallo,
>
> Ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst,
>  [mm](a+ib)^2 +(b-ia)^2[/mm]
>  =
>  [mm]a^2[/mm] +2*a*ib+ [mm](ib)^2[/mm] + [mm]b^2[/mm] -2*b*ia+ [mm](ia)^2[/mm]
>  =
>  [mm]a^2 +b^2 +i^2 *b^2 +i^2*a^2[/mm]
>  =
>  [mm]a^2+b^2+i^2(b^2+a^2)[/mm]
>  =
> [mm]a^2+b^2-1(a^2+b^2)[/mm]
>  =
>  [mm]a^2+b^2-b^2-a^2[/mm]
>  =
>  0
>  
> Stimmt das so?

Ja, aber einfacher geht das so:

Ist z=a+ib, so ist $-iz=b-ia$, also

$ [mm] (a+ib)^2 +(b-ia)^2=z^2+(-iz)^2=z^2-z^2=0. [/mm] $

>  Grüße
>  Benni


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