Real- und Imaginärteil < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Do 16.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | a)
Man berechne Real- und Imaginärteil sowie Betrag von [mm] z=\bruch{\wurzel{3}+i}{\wurzel{3}-i};
[/mm]
b)
man berechne z^24 in Normalform, d.h. man gebe den Realteil und den Imaginärteil dieser komplexen Zahl an. |
Hallo zusammen!
Bei der a) muss ich den Bruch doch mit Hilfe der 3. bin. Formel erweitern, bis er wegfällt oder? Irgendwie kommt bei mir da nichts brauchbares heraus ... :/ denn ich bekomm den Nenner einfach nicht weg ...
[mm] z=\bruch{\wurzel{3}+i}{\wurzel{3}-i} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{3}+i)^2}{(\wurzel{3}-i)*(\wurzel{3}+i)} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{3}+i)^2}{3-\wurzel{3}i+\wurzel{3}i-i^2} [/mm] = [mm] \bruch{3+2\wurzel{3}i+i^2}{3-i^2} [/mm] ich seh hier nur irgendwie kein weiterkommen ...
Die b) habe ich mir dementsprechend noch nich sinngemäß anschauen können ... aber muss ich hier wirklich z^24 ausrechnen? Kann ich nich z.B. auch [mm] z^6 [/mm] oder [mm] z^8 [/mm] ausrechnen und dann daraus auf z^24 schließen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Do 16.10.2008 | | Autor: | abakus |
> a)
> Man berechne Real- und Imaginärteil sowie Betrag von
> [mm]z=\bruch{\wurzel{3}+i}{\wurzel{3}-i};[/mm]
>
> b)
> man berechne z^24 in Normalform, d.h. man gebe den
> Realteil und den Imaginärteil dieser komplexen Zahl an.
> Hallo zusammen!
> Bei der a) muss ich den Bruch doch mit Hilfe der 3. bin.
> Formel erweitern, bis er wegfällt oder? Irgendwie kommt bei
> mir da nichts brauchbares heraus ... :/ denn ich bekomm den
> Nenner einfach nicht weg ...
>
> [mm]z=\bruch{\wurzel{3}+i}{\wurzel{3}-i}[/mm] =
> [mm]\bruch{(\wurzel{3}+i)^2}{(\wurzel{3}-i)*(\wurzel{3}+i)}[/mm] =
> [mm]\bruch{(\wurzel{3}+i)^2}{3-\wurzel{3}i+\wurzel{3}i-i^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3+2\wurzel{3}i+i^2}{3-i^2}[/mm] ich seh hier nur
> irgendwie kein weiterkommen ...
Hallo,
es gilt [mm] i^2=-1, [/mm] also lautet dein Nenner 3-(-1), also 4.
Gruß Abakus
>
> Die b) habe ich mir dementsprechend noch nich sinngemäß
> anschauen können ... aber muss ich hier wirklich z^24
> ausrechnen? Kann ich nich z.B. auch [mm]z^6[/mm] oder [mm]z^8[/mm] ausrechnen
> und dann daraus auf z^24 schließen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Do 16.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
also kommt somit dann raus:
[mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{3}i
[/mm]
Somit wäre der Realteil: [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
und der Imaginärteil: [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{3}i
[/mm]
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Hallo SirSmoke!
Der Imaginärteil einer komplexen Zahl ist der Koeffizient vor dem $i_$ ... wird also ohne $i_$ angegeben.
Die Zahlenwerte stimmen dann.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Do 16.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
danke ;)
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Hallo SirSmoke!
Für den Aufgabenteil b.) solltest Du die  Moivre-Formel verwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 12:19 Do 16.10.2008 | | Autor: | Kain2104 |
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> Für den Aufgabenteil b.) solltest Du die Moivre-Formel
> verwenden.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
>
Die de Moivre Formel kann hier nicht angewandt werden, da in der Aufgabenstellung explizit steht, dass man die Normalform benutzen soll.
Wenn du zunaechst [mm] z^2,z^3,z^4,...,z^6 [/mm] ausrechnest, dann siehst du eine gesetzmaessigkeit (am besten nimmst du statt den werten aus aufgabe a lieber die variablen a und b)
tipp: pascal'sches dreieck.> Hallo SirSmoke!
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 14:16 Do 16.10.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Kain!
Es steht lediglich da, dass das Ergebnis in der Normalform dargestellt werden soll. Da kann als Zwischenschritt durchaus die Exponential- oder trigonometrische Form gewählt werden.
Jeder andere Weg als Moivre ist doch Beschäftigungstherapie ...
Gruß vom
Roadrunner
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