Forum "Uni-Lineare Algebra" - Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit - ev.vorhilfe.de

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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit

Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:45 Mo 04.10.2004
Autor:	Professor

Hallo,

BITTE helft mir bei folgendem Problem:

Wieso ist diese Aussage richtig? "Haben zwei symmetrische reelle Matrizen dasselbe charakteristische Polynom, so sind sie ähnlich."

Vielen Dank

Bezug

Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:21 Mo 04.10.2004
Autor:	Julius

Hallo Professor!

Wenn zwei symmetrische Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben, dann haben sie auch die gleichen Eigenwerte, mit der gleichen algebraischen Vielfachheit. Da beide Matrizen symmetrisch sind, sind beide Matrizen diagonalisierbar, also ähnlich zu einer Diagonalmatrix, auf der die Eigenwerte gemäß ihrer geometrischen (=algebraischen) Vielfachheit stehen. Beide Matrizen sind also ähnlich zu der gleichen Diagonalmatrix und daher ähnlich (da die Ähnlichkeit eine Äquivalentrelation ist).

Liebe Grüße
Julius