Raum finiter Folgen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] komplexer Zahlen heißt finit, wenn es ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] gibt, mit [mm] $x_n=0$ [/mm] für alle $n [mm] \geq [/mm] N$. Es sei $E$ der Unterraum von [mm] $l^\infty$, [/mm] der aus allen finiten Folgen besteht. Weiterhin sei [mm] $T:E\toE$ [/mm] definiert durch [mm] $T(x_1,x_2,x_3,…):=(x_1,2x_2,3x_3,…)$. [/mm] Zeigen Sie, dass $T$ unstetig ist, aber als punktweiser Grenzwert einer Folge [mm] $(T_n)$ [/mm] in $L(E)$ dargestellt werden kann. Ist $E$ ein abgeschlossener Unterraum von [mm] $l^\intfty$? [/mm] |
Hallo Zusammen,
ich bin völlig verzweifelt bei dieser Aufgabe. Ich finde da einfach keinen vernünftigen Ansatz und weiß nicht, wie ich da ran gehen soll. Also $T$ ist eine lineare Abbildung, aber warum sollte die unstetig sein? Das mit dem Grenzwert einer Folge usw. würde ich dann vermutlich gebacken bekommen, aber ich sehe nicht ein, warum $T$ unstetig sein sollte…
Ich hoffe, Ihr könnt mir einen Tipp geben.
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Hiho,
> Also [mm]T[/mm] ist eine lineare Abbildung
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber warum sollte die unstetig sein?
Wann sind lineare Operatoren denn stetig?
Da hattet ihr bestimmt einen Satz zu....
Gruß,
Gono.
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Hallo und danke für die Antwort!
Was ich mir überlegt habe bzw. wo auch mein Verständnisproblem liegt, ist: Ein linearer Operator ist stetig genau dann, wenn er (…) beschränkt ist. Das war mein Ausgangspunkt. Jetzt ist aber doch $E$ ein Unterraum von [mm] $l\infty$, [/mm] dem Raum der beschränkten Folgen. Wenn die Folgen in $E$ beschränkt sind, ist dann auch $E$ selbst beschränkt? Denn dann schaue ich mir ja eine lineare Abbildung auf einer beschränkten Menge an…was macht die Beschränktheit von $T$ kaputt?
Danke schon mal
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Hiho,
> Ein linearer Operator ist stetig genau dann, wenn er (…) beschränkt ist.
> Jetzt ist aber doch [mm]E[/mm] ein Unterraum von [mm]l\infty[/mm], dem Raum der beschränkten Folgen.
> Wenn die Folgen in [mm]E[/mm] beschränkt sind, ist dann auch [mm]E[/mm] selbst beschränkt?
Nein.
Wann heißt ein Raum denn beschränkt?
Gruß,
Gono.
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Hallo und danke für die Antwort. Ich hab mir das alles noch mal durch den Kopf gehen lassen und bin trotzdem verzweifelt. Ich hab da irgendeinen Denkfehler und hoffe dass Du/Ihr mir da weiterhelfen könnt. In welchem Schritt bin ich zu doof?
1) Der lineare Operator $T$ ist stetig, wenn er beschränkt ist.
2) T ist beschränkt, wenn [mm] $||T||<\infty$
[/mm]
3) $||T||$ ist (in dieser Aufgabe mit Supremumsnorm) definiert als [mm] $\sup_{||x||_\infty=1}{||Ax||_\infty}
[/mm]
4) Da die Folgen in $E$ finit sind, gibt es ein $N$ ab dem alle darauf folgenden Glieder gleich 0 sind.
5) Ich nehme mir eine beliebige Folge aus $E$, bspw. [mm] $(x_1,x_2,x_3,…x_n,0,0,...)$ [/mm] mit Maximumsnorm 1, d.h. ja alle [mm] $x_i$ [/mm] sind höchstens 1 und mindestens ein [mm] $x_i$ [/mm] ist gleich 1.
6) Wenn ich das mit T abbilde, erhalte ich [mm] $(x_1,2x_2,3x_3,…nx_n,0,0,…)$. [/mm] Da aber alle [mm] x_i [/mm] höchstens 1 sind, ist [mm] $||T(x_n)||$ [/mm] höchstens n also kleiner als Unendlich und somit ist T beschränkt, also stetig???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:24 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] e_n [/mm] die Folge in E, die an der n-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur Nullen.
Dann ist [mm] T(e_n)=n*e_n.
[/mm]
Somit: [mm] ||T(e_n)||=n.
[/mm]
Kann denn T beschränkt sein ????
FRED
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Ah ok…klar…Ich hatte das immer mit so Folgen wie $(1,1,1,…)$ versucht und durch die Definition der finiten Folge "nur endlich viele Einträge ungleich 0" war ich mir irgendwie nicht wirklich sicher, ob wirklich $n [mm] \to \infty$…aber [/mm] so ist es klar geworden. Danke!
Jetzt ist noch die Frage nach [mm] $(T_n)$. [/mm] Die Folgenglieder [mm] $T_i$ [/mm] sind stetige, lineare Operatoren und die Folge [mm] $(T_n)$ [/mm] konvergiert punktweise gegen $T$. Jetzt ist aber mein Problem, dass ich (nach dem ich das obige verstanden habe) mir nun keine beschränkten linearen Abbildungen auf $E$ mehr vorstellen kann  Das einzige was ich mir vorstellen kann, ist folgendes:
1) [mm] $T_1(x_1,x_2,x_3,…)=(x_1,x_2,x_3,…,x_n,0,0,...)$
[/mm]
2) [mm] $T_2(x_1,x_2,x_3,…)=(0,x_2,x_3,…,x_n,0,0,...)$
[/mm]
3) [mm] $T_3(x_1,x_2,x_3,…)=(0,0,x_3,…x_n,0,0,...)$
[/mm]
usw.
Ich hätte die evtl. nicht [mm] $T_i$ [/mm] nennen sollen, weil das eigentlich nur ein Ansatz ist, um die [mm] $T_i$ [/mm] zu konstruieren…im Grunde wäre die Summe dieser Abbildungen oben doch etwas, was gegen $T$ punktweise konvergiert, oder? Ich bin mir aber auch nicht sicher, ob die [mm] $T_i$ [/mm] überhaupt stetig sind...
Die Abgeschlossenheit (bzw. Nicht-Abgeschlossenheit von $E$) ist klar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mi 15.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah ok…klar…Ich hatte das immer mit so Folgen wie
> [mm](1,1,1,…)[/mm] versucht und durch die Definition der finiten
> Folge "nur endlich viele Einträge ungleich 0" war ich mir
> irgendwie nicht wirklich sicher, ob wirklich [mm]n \to \infty[/mm]…aber
> so ist es klar geworden. Danke!
>
> Jetzt ist noch die Frage nach [mm](T_n)[/mm]. Die Folgenglieder [mm]T_i[/mm]
> sind stetige, lineare Operatoren und die Folge [mm](T_n)[/mm]
> konvergiert punktweise gegen [mm]T[/mm]. Jetzt ist aber mein
> Problem, dass ich (nach dem ich das obige verstanden habe)
> mir nun keine beschränkten linearen Abbildungen auf [mm]E[/mm] mehr
> vorstellen kann Das einzige was ich mir vorstellen
> kann, ist folgendes:
>
> 1) [mm]T_1(x_1,x_2,x_3,…)=(x_1,x_2,x_3,…,x_n,0,0,...)[/mm]
> 2) [mm]T_2(x_1,x_2,x_3,…)=(0,x_2,x_3,…,x_n,0,0,...)[/mm]
> 3) [mm]T_3(x_1,x_2,x_3,…)=(0,0,x_3,…x_n,0,0,...)[/mm]
> usw.
>
> Ich hätte die evtl. nicht [mm]T_i[/mm] nennen sollen, weil das
> eigentlich nur ein Ansatz ist, um die [mm]T_i[/mm] zu
> konstruieren…im Grunde wäre die Summe dieser Abbildungen
> oben doch etwas, was gegen [mm]T[/mm] punktweise konvergiert, oder?
> Ich bin mir aber auch nicht sicher, ob die [mm]T_i[/mm] überhaupt
> stetig sind...
Setze [mm] T_n(x_1,x_2,x_3,....):=(x_1,2x_2,...,nx_n,0,0,...)
[/mm]
>
> Die Abgeschlossenheit (bzw. Nicht-Abgeschlossenheit von [mm]E[/mm])
Ja, was jetzt ? Ist E abgeschlossen oder nicht ? Und wie begründest Du das ?
FRED
> ist klar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 17.01.2014 | | Autor: | rainman_do |
Hallo und danke für die Antwort.
E ist nicht abgeschlossen. Ich betrachte dazu die Folge [mm] $x:=\left(\bruch{1}{n}\right)_{n\in \IN}$ [/mm] in [mm] $l^\infty$ [/mm] und [mm] $x_E:=(1,$\left(\bruch{1}{2}\right),$\left(\bruch{1}{3}\right),…,$\left(\bruch{1}{n}\right),0,0,…) [/mm] in $E$. Dann gilt [mm] $||x-x_E||\to [/mm] 0$, aber [mm] $x\not\in [/mm] E$. Und hoffe mal, dass das reicht
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