Raum der Lebesgue-intb. Funkt. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Di 12.09.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo!
Ich verstehe mal wieder einen Satz unserer Vorlesung nicht, diesmal folgener:
Für $f [mm] \in L^1(\mu)$ [/mm] hat [mm] $f(x_0)$ [/mm] für [mm] $x_0 \in [/mm] X$ keinen Sinn mehr. Ist [mm] $\mu(\left\{x_0\right\})=0$, [/mm] dann kann $f=g$ [mm] $\mu$-fast-überall, [/mm] aber [mm] $f(x_0) \neq g(x_0)$ [/mm] gelten.
Mit $f [mm] \in L^1(\mu)$ [/mm] sind alle Lebesgue integrierbaren Funktionen gemeint, bis auf die Nullfunktionen (Also für die [mm] $\int_X |f|d\mu=0$). [/mm] Dann hat man eine richtige Norm (sonst ja nur Seminorm).
Ich kann leider überhaupt nicht verstehen, warum [mm] $f(x_0)$ [/mm] keinen Sinn mehr machen soll, schließlich ist ja die Aufgabe einer Funktion, irgendwelche Werte irgendwoanders hin abzubilden???
Wahrscheinlich hab ich einen grundlegenden Denkfehler!
Wer kann mir helfen???
Grüße
Cruemel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Di 12.09.2006 | | Autor: | choosy |
funktionen in einzelnen Punkten zu betrachten macht wenig sinn, da die Norm diese nicht respektiert.
zum beispiel sind die funktionen
f(x)=0 und f(0)=1 und sonst 0
die selben bzgl der gegebenen Norm. Der unterschied den die funktionen in 0 haben wird quasi wegintegriert, da {0} eine Nullmenge ist.
Streng genommen bestehen die L-Räume auch nicht aus funktionen, sondern aus Äquivalenzklassen von funktionen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mi 13.09.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo,
Ich muss leider zugeben, das mir die Antwort nicht wirklich weiter geholfen hat. Es steht ja ganz klar da:
Für $ f [mm] \in L^1(\mu) [/mm] $ hat $ [mm] f(x_0) [/mm] $ für $ [mm] x_0 \in [/mm] X $ keinen Sinn und nicht $|| [mm] f(x_0)|| [/mm] $ . Würde zweiteres dastehen, ok, dann wär alles klar.
Ist es praktisch so gemeint: Wenn wir schon in $ f [mm] \in L^1(\mu) [/mm] $ sind, werden dann die Funktionen sicher mal integriert, und somit interessiert uns die Funktion an sich nicht mehr?
Aber in erster Linie hat man eben Funktionen, für die man auch Funkionswerte ausrechnen will, oder??? Das ist doch der Sinn von Funktionen....
Grüße
Cruemel
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Hallo und guten Morgen,
stand da wirklich in Deinem Skript dieser Satz so formuliert ? Komisch wäre es ....
Ok, nochmal:
Wenn [mm] f\in L^1(\mu) [/mm] und einelementige Mengen Maß 0 haben, so kann es [mm] g\neq [/mm] f geben mit
[mm] \int |f(x)-g(x)|d\mu =0\:\:\:\: (\star)
[/mm]
Nicht mehr und nicht weniger ist gemeint. In der Tat können wir einen metrischen Raum aus [mm] L^1(\mu) [/mm] konstruieren,
indem wir Funktionen f,g mit [mm] (\star) [/mm] identifizieren (d.h. zu Äquivalenzklassen solcher Funktionen übergehen). In dem
so entstehenden Quotientenraum können wir dann i.a. nicht zwei Elemente (= Äquivalenzklassen von Funktionen des ursprünglichen Raumes)
dadurch unterscheiden, dass wir für Vertreter dieser Klassen die Verschiedenheit einzelner Funktionswerte nachweisen.
Falls noch Fragen sind, so zitiere doch mal einfach etwas ausführlicher, was da in der Vorlesung/dem Skript ausgesagt wurde.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Mi 13.09.2006 | | Autor: | cruemel |
> Hallo und guten Morgen,
>
> stand da wirklich in Deinem Skript dieser Satz so
> formuliert ? Komisch wäre es ....
Ja: http://www.mathematik.uni-regensburg.de/broecker/kap32.pdf seite 25, ganz unten
Ist zwar nicht von unserem Prof, aber er hat sich an dieses Buch gehalten.
> Ok, nochmal:
>
> Wenn [mm]f\in L^1(\mu)[/mm] und einelementige Mengen Maß 0 haben,
> so kann es [mm]g\neq[/mm] f geben mit
>
> [mm]\int |f(x)-g(x)|d\mu =0\:\:\:\: (\star)[/mm]
> Nicht mehr und nicht weniger ist gemeint. In der Tat können
> wir einen metrischen Raum aus [mm]L^1(\mu)[/mm] konstruieren,
> indem wir Funktionen f,g mit [mm](\star)[/mm] identifizieren (d.h.
> zu Äquivalenzklassen solcher Funktionen übergehen). In dem
> so entstehenden Quotientenraum können wir dann i.a. nicht
> zwei Elemente (= Äquivalenzklassen von Funktionen des
> ursprünglichen Raumes)
> dadurch unterscheiden, dass wir für Vertreter dieser
> Klassen die Verschiedenheit einzelner Funktionswerte
> nachweisen.
>
> Falls noch Fragen sind, so zitiere doch mal einfach etwas
> ausführlicher, was da in der Vorlesung/dem Skript ausgesagt
> wurde.
>
> Gruss,
>
> Mathias
Hallo Mathias,
Dann werde ich es einfach so hinnehmen, vielen Dank auf jeden Fall!
Grüße
Cruemel
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