Rationale Koeff. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] t=x+y\wurzel{2} \in \IQ[\wurzel{2}], [/mm] x,y [mm] \in\IQ
[/mm]
Zeige, dass es a,b [mm] \in \IQ [/mm] gibt mit [mm] t^2+at+b=0 [/mm] |
Guten Abend zusammen, wenn noch jemand wach ist...
Kann ich da einfach mit p,q-Formel ran?
Ich habe gerad übehaupt keinen Plan, wie ich da argumentieren soll?
Habe schon rumgerechnet, finde aber keine rationale Darstellung von a und b. Es kommt immer noch [mm] \wurzel{2} [/mm] vor.
Greets
C.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Sa 07.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo C.,
> Sei [mm]t=x+y\wurzel{2} \in \IQ[\wurzel{2}],[/mm] x,y [mm]\in\IQ[/mm]
> Zeige, dass es a,b [mm]\in \IQ[/mm] gibt mit [mm]t^2+at+b=0[/mm]
> Guten Abend zusammen, wenn noch jemand wach ist...
ja mindestens einer :)
> Kann ich da einfach mit p,q-Formel ran?
Ja, aber das ist etwas umstaendlich. Es geht auch einfacher: finde eine andere Zahl $t' = [mm] \tilde{x} [/mm] + [mm] \tilde{y} \sqrt{2}$ [/mm] mit $t + t' [mm] \in \IQ$ [/mm] und $t [mm] \cdot [/mm] t' [mm] \in \IQ$. [/mm] Dann ist naemlich $(y - t) (y - t') = [mm] y^2 [/mm] - (t + t') y + t t' [mm] \in \IQ[y]$, [/mm] womit $t$ die Gleichung [mm] $t^2 [/mm] + (-t - t') t + (t t') = 0$ erfuellt.
Du kannst [mm] $\tilde{x}$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}$ [/mm] ganz einfach waehlen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo danke!
Aber ich verstehe leider nicht warum man über [mm] \IQ[y] [/mm] geht
Warum konstruiere ich (y-t)*(y-t') ?
Hab irgendwie ein Brett vor Kopf.
Gruß
C.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:54 So 08.04.2007 | | Autor: | unknown |
Moin,
> Aber ich verstehe leider nicht warum man über [mm]\IQ[y][/mm]
> geht
> Warum konstruiere ich (y-t)*(y-t') ?
Naja, Du willst ein Polynom zweiten Grades mit $t$ als Nullstelle und rationalen Koeffizienten, also irgendwas von der Form [mm] $Y^2 [/mm] + aY + b [mm] \in \IQ[Y]$. [/mm] Wenn Du also [mm] $t\cdot [/mm] t'$ und $t+t' [mm] \in \IQ$ [/mm] hast, dann ist $(Y - t)(Y - t') $ genau so ein Polynom. (Es war vielleicht etwas unglücklich, die Variable $y$ statt $Y$ oder so zu nennen -- aber ansonsten ist felixf's Ansatz ganz schön).
Falls Dir die Suche nach [mm] $\tilde{x}$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}$ [/mm] aus felixf's Vorschlag nicht gefällt, kannst Du alternativ auch erst mal damit anfangen, $t$ zu quadieren. Das Ergebnis ist in [mm] $\IQ[\sqrt2]$, [/mm] also von der Form $r + [mm] s\sqrt{2}$ [/mm] mit $r$ und $s [mm] \in \IQ$. [/mm] Wie oft musst Du jetzt $t$ abziehen, damit das Ergebnis in [mm] $\IQ$ [/mm] liegt? (Also, damit die [mm] $\sqrt2$ [/mm] verschwindet). Und was musst Du dann abziehen, um Null zu erhalten?
Hoffe, das hilft.
|
|
|
|
