Rangberechnung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Do 19.01.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Für a,b,c [mm] \in \IC [/mm] bestimme man die Matrix
[mm] \pmat{ a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a }
[/mm]
[Tipp: Ist eine der Zahlen a,b,c ungleich Null, so begründe man, warum ohne Beschränkung der Allgemeinheit a [mm] \not= [/mm] 0 angenommen werden darf.] |
Hallo zusammen,
ich könnte etwas Hilfe bezüglich des Tipps gebrauchen.
Meine Behauptung: Rang( [mm] \pmat{ a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a })=3
[/mm]
Beweis:
nach Anwendung elementarer Zeilenoperationen erhalte ich die Matrix:
[mm] \pmat{ a & b & c \\ 0 & a^{2}-cb & ab- c^{2} \\ 0 & 0 & a( a^{3}-3abc+ b^{3}+ c^{3}}
[/mm]
also is z.zg., dass a [mm] \not= [/mm] 0 ist !?
Dazu soll man der Aufgabenstellung entsprechend den Tipp benutzen. Ich finde aber leider keinen Ansatz. Habe echt überhaupt keine Idee. Danke für eure Hilfe.
Gruß, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Do 19.01.2006 | | Autor: | Mick312 |
mein problem bei der aufgabe ist dass a,b,c aus dem Komplexen kommen, d.h nach fundamentalsatz der algebra (?) dass das polynom ,was du bei dir rechts unten nach der umformung stehen hast auf jeden fall nullstelle(n) hat, also Rang(A) < 3. komme bei der aufgabe auch nicht weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Do 19.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Patrick
nur aus dem Diskussionsthema entnehme ich, dass du den Rang der Matrix bestimmen willst. in deiner Aufgabenstellung steht das nicht. Bitte lies deine Aufgaben nach dem posten noch mal durch, wie ein Aussenstehender und versuch sie dann zu verstehen.
abc sind in den 3 Reihen einfach zyklisch vertauscht. der Rang ändert sich nicht, wenn man 2 Spalten vertauscht, dann übernimmt b oder c die Rolle von a. wahrscheinlich suchst du Bedingungen,für a,b,c so dass die Matrix Rang 1, 2,oder 3 hat!
Rang 3 allgemein ist sicher falsch. für a=b=c z.Bsp ist Rang 1! was ist für [mm] a^{2}=c*b [/mm] ?
Gruss leduart
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hallo, ich hab mal ne frage.
wie soll man jetzt vorgehen. ich hab mich mit der gleichen aufgabe beschäftigt und habe fallunterscheidungen gemacht für
1.)a,b,c [mm] \not= [/mm] 0 => rang=3
2.)a=0 und b,c [mm] \not= [/mm] 0 => rang=3 für [mm] b^2 [/mm] +c [mm] \not= [/mm] 0 und
rang=2 für [mm] b^2 [/mm] +c =0
3.)a=b=0 und c [mm] \not= [/mm] 0 => rang=3
wie soll ich jetzt umgehen mit den zahlen a,b,c, da sie ja komplexe zahlen sind?
und warum gilt wenn eine der zahlen [mm] \not= [/mm] 0 ist, dass a [mm] \not= [/mm] 0 ist?
ich bedanke mich im voraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hast du den Beitrag von leduart nicht gelesen? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Fallunterscheidung stimmt hinten und vorne nicht. Nehmen wir zum Beispiel den Fall $a=b=c=1$. Dann müsste die Matrix nach deiner Theorie Rang $3$ haben, in Wahrheit hat sie aber Rang $1$.
Versuche es bitte komplett noch mal neu und orientiere dich dabei an leduarts Beitrag.
Dass es sich um komplexe Zahlen handelt, spielt insofern eine Rolle, als dass jedes auftretende "Nullstellenproblem" Lösungen besitzt und nicht noch Fallunterscheidungen bezüglich Diskriminanten u.ä. vorgenommen werden müssen.
Zum letzten Teil hat leduart ja auch schon was geschrieben, was du anscheinend nicht gelesen hast. Wenn eine der Zahlen ungleich $0$ ist, so folgt daraus nicht, dass dies auch für $a$ gilt, sondern wir können ohne Einschränkung annehmen, dass $a [mm] \ne [/mm] 0$ gilt. Gilt nämlich $b [mm] \ne [/mm] 0$ oder $c [mm] \ne [/mm] 0$, so vertauschen wir einfach die Spalten und beachten, dass sich der Rang einer Matrix durch Spaltenvertauschungen nicht ändert.
Liebe Grüße
Julius
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