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| Aufgabe | | A sei eine nxn-Matrix,dh mit n Zeilen, n Spalten, b [mm] R^n [/mm] (Spalten-)Vektor. Man zeige. DAs inhomogene lineare Gleichungssystem Ax=b hat genau dann für jedes b eine eindeutig bestimmte Lösung x [mm] R^n, [/mm] wenn das zugehörige homogene Gleichungssystem Ax=0 nur die triviale Lösung x=0 besitzt. |
Ich habe grad ein kleines Problem. Ich komm gar nich weiter mit dieser Aufgabe, ich sitze schon seit Gestern dran und muss sie morgen früh abgeben. Hilfe bitte =(
Also... ich habe bis jetzt nur die Tipps vom Tutor:
(i) "=>" 1. Ax=b hat eine Lösung xs => Axs=b
2. Ax=b hat keine Lösung, Ax=0 hat die Lösung x=0. WArum??
(ii) "<=" 1. Ax=b hat keine Lösung
2. es existiert ein xs mit Axs=b => A(xs+xo)=b.
Ich versuch das die ganze Zeit mithilfe des Rangs von A zu beweisen... ich weiß nicht weiter..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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zu (ii), also <=: Sei Ax = 0 nur für [mm] x_{0} [/mm] = 0 lösbar. Betrachte das Gleichungssystem Ax = b. Angenommen b hätte mehrere Lösungen, etwa [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3}, [/mm] dann [mm] A*x_{2} [/mm] = b = [mm] A*x_{3} [/mm] <=> 0 = [mm] A*x_{2} [/mm] - [mm] A*x_{3} [/mm] = [mm] A*(x_{2}- x_{3}). [/mm] Nach Vor. hat 0 nur die triviale Lösung [mm] x_{0} [/mm] = 0, also muss gelten: [mm] x_{2}- x_{3} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm] = 0 => [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] (Sollte das System Ax=b keine Lösung haben, dann hätte A keinen vollen Rang (mindestens eine Zeile wäre Linearkombination der anderen) und damit hätte das zugehörige homogene System nicht nur die triviale Lösung)
(i), also => : Sei Ax = b eindeutig lösbar [mm] \forall [/mm] b [mm] \in \IR^{n}. [/mm] Dann hat insbesondere 0 [mm] \in \IR^{n} [/mm] eine eindeutige Lösung. Und wenn du A*0 ausrechnest, dann kommt genau 0 raus. Also kann das System nur die triviale Lösung haben.
Ich hoffe, das war dir eine Hilfe (und rechtzeitig).
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Die Aufgabe habe ich dann doch noch gegen 4 nachts gelöst =) Aber einen Teil von deiner Lösung habe ich auch ncoh dazu geschrieben. Danke!!
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