Rang und lin. Unabhängigkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
mir ist der Zusammenhang der lin. Unabhängigkeit und des Ranges noch nicht so klar.
Wenn ich 3 Vektoren habe und sie als Matrixform schreibe , und ich den Rang mittels Gauß bestimme, und wenn ich dann als Rang 2 bekomme, heißt es dann, dass in dieser Matrix nur 2 Vektoren linear unabhängig sind ? Voller Rang würde ja heißen, dass alle 3 lin. unabhängig sind. Aber JEWEILS linear unabhängig oder als ganzes (als Vektormenge) unabhängig ?
Vielen Dank im Voraus.
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> Hallo,
> mir ist der Zusammenhang der lin. Unabhängigkeit und des
> Ranges noch nicht so klar.
Hallo,
Rang einer Matrix=Dimension des von ihren Spalten aufgespannten Raumes.
(Übrigens auch: des von ihren Zeilen aufgespannten Raumes.)
>
> Wenn ich 3 Vektoren habe und sie als Matrixform schreibe ,
> und ich den Rang mittels Gauß bestimme, und wenn ich dann
> als Rang 2 bekomme,
Also etwa so:
[mm] v_1:=\vektor{1\\2\\3}, v_2:=\vektor{1\\1\\2}, v_3:=\vektor{1\\3\\4}.
[/mm]
Matrix [mm] A:=\pmat{1&1&1\\2&1&3\\3&2&4} [/mm] -->
in ZSF [mm] \pmat{\red{1}&1&1\\0&\red{1}&-1\\0&0&0}
[/mm]
Der Rang der Matrix A ist 2, Rang(A)=2.
Wir wissen: die drei Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] spannen einen Raum der Dimension 2 auf.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen (rot) der ZSF stehen in Spalte 1 und 2.
Wir können daraus ablesen: die 1. und 2.Spalte von A (!), also [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind eine Basis von A.
Eine Basis von A ist hier aber auch [mm] (v_1, v_3) [/mm] und [mm] (v_2, v_3) [/mm] denn auch dies sind linear unabhängige Teilmengen bzw. Familien des Erzeugendensystems [mm] (v_1, v_2, v_3)
[/mm]
Es gibt noch viel mehr Basen des von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] aufgespannten Raumes, etwa
[mm] (\vektor{3\\6\\9},\vektor{0\\1\\1}).
[/mm]
LG Angela
> heißt es dann, dass in dieser Matrix
> nur 2 Vektoren linear unabhängig sind ? Voller Rang würde
> ja heißen, dass alle 3 lin. unabhängig sind. Aber JEWEILS
> linear unabhängig oder als ganzes (als Vektormenge)
> unabhängig ?
>
> Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 So 28.12.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
vielen Dank für die Erklärung und das Beispiel, hat geholfen !
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