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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Do 13.01.2005 | | Autor: | hallo |
Hallo Leute!
Ich habe hier ein paar Lösungsideen zur dieser Aufgaben, die möglicherweise zur Lösung führen könnten, aber ich komme einfach nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie diese äquivalenten Aussagen beweisen soll
( erst in der Richtung [mm] \Rightarrow, [/mm] dann [mm] \Leftarrow) [/mm] .
Ich bitte deshalb um HIlfe.
Die Aufgabe lautet:
Sei K ein Körper, und seien n,m [mm] \ge [/mm] 1. Weiter sei A [mm] \in K^{m,n}. [/mm] Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) rg(A) [mm] \le [/mm] 1.
(ii) Es existieren B [mm] \in K^{m,1}, [/mm] C [mm] \in K^{1,n} [/mm] mit A = BC.
Ich weiß, dass rg(A) = dim im [mm] f_{A} \ge [/mm] 1 gilt.
Und ich weiß, dass B= [mm] \vektor{ b_{1}\\ .\\ .\\ . \\ b_{m}} [/mm] und C = ( [mm] c_{1}.... c_{n}) [/mm] so aussehen müssen, weil B [mm] \in K^{m,1} [/mm] ist und dim< [mm] b_{1},..., b_{m}> [/mm] der Spaltenrang von B ist und bei C dim < [mm] c_{1},..., c_{n}> [/mm] der Zeilenrang von C ist.
KAnn mir jemand beim Beweis helfen?
Danke,
es grüßt
hallo.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Do 13.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo "hallo"!
> Ich habe hier ein paar Lösungsideen zur dieser Aufgaben,
> die möglicherweise zur Lösung führen könnten, aber ich
> komme einfach nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie diese
> äquivalenten Aussagen beweisen soll
> ( erst in der Richtung [mm]\Rightarrow,[/mm] dann [mm]\Leftarrow)[/mm] .
> Ich bitte deshalb um HIlfe.
> Die Aufgabe lautet:
>
> Sei K ein Körper, und seien n,m [mm]\ge[/mm] 1. Weiter sei A [mm]\in K^{m,n}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
> (i) rg(A) [mm]\le[/mm] 1.
> (ii) Es existieren B [mm]\in K^{m,1},[/mm] C [mm]\in K^{1,n}[/mm] mit A =
> BC.
>
> Ich weiß, dass rg(A) = dim im [mm]f_{A} \ge[/mm] 1 gilt.
> Und ich weiß, dass B= [mm]\vektor{ b_{1}\\ .\\ .\\ . \\ b_{m}}[/mm]
> und C = ( [mm]c_{1}.... c_{n})[/mm] so aussehen müssen, weil B [mm]\in K^{m,1}[/mm]
> ist und dim< [mm]b_{1},..., b_{m}>[/mm] der Spaltenrang von B ist
> und bei C dim < [mm]c_{1},..., c_{n}>[/mm] der Zeilenrang von C
> ist.
> KAnn mir jemand beim Beweis helfen?
Also:
"$(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$":
Definiere $B$ als die erste Spalte von $A$. Die anderen Spalten sind Vielfache dieser ersten Spalte, also [mm] $a^i [/mm] = [mm] \lambda_i a^1$. [/mm] Die Vielfachen [mm] $\lambda_i$ [/mm] knallst du alle in die Matrix $C$, fertig.
"$(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)$":
Sofort klar, wegen
$rg(A) = rg(BC) [mm] \le \min\{rg(B),rg(C)\} \le [/mm] 1$.
Hilft dir das? Willst du deinen Beweis jetzt zur Kontrolle vielleicht mal ausformulieren und hier hereinstellen? 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:20 Fr 14.01.2005 | | Autor: | hallo |
Hallo stefan,
erstmal für deine Hilfe.
Ich versteh aber nicht ganz, warum man bei der i [mm] \to [/mm] ii die Matrix so auftrennen kann. Ich hab deinen Tipp befolgt und hab jetzt so was da stehen:
A= [mm] \vektor{ b_{1}... \\ b_{m}} \lambda [/mm] _{i} [mm] a^{1}
[/mm]
Ist das [mm] a^{1} [/mm] die 1.Spalte von A?
Wenn ich alles wieder ausmultipliziere kommt bei mir nicht die ursprüngliche Matrix A= [mm] \pmat{ a_{11}..... & a_{1n} \\ a_{m1} & a_{mn} } [/mm] heraus. Wo liegt mein Fehler?
Den schritt ii [mm] \to [/mm] i versteh ich auch nicht ganz.
Ich weiß, dass es ein Lemma gibt wo gilt: rg(BC) [mm] \le [/mm] min { rg(B),rg(C)}
Aber warum ist der ausdruck [mm] \le [/mm] 1? der spaltenrang von B ist doch gleich dim< [mm] b_{1},...., b_{m}> [/mm] Muss dann nicht der rang gleich m sein und der zeilenrang von C gleich n?
Wir haben in der Vorlesung definiert, dass der rang gleich der Zeilen in der Matrix sind, die [mm] \not= [/mm] 0 sind.
Danke für deine Hilfe.
Hallo
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