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| Aufgabe | A= [mm] \pmat{ a & b & b \\ b & a & -a \\ a+b & a+b & 2a }.
[/mm]
Zeigen Sie, dass A genau dann vollen Rang hat, wenn für die reellen Parameter a,b gilt: [mm] a^{2} [/mm] ungleich [mm] b^{2} [/mm] und b ungleich 3a. |
Meine Idee: A hat genau dann vollen Rang, wenn det(A) ungleich 0 ist.
Dann berechne ich die Det. und komme zu folgendem Ergebnis:
det (A)= [mm] 2a^{3} [/mm] - ab(a+b) + [mm] b^{2}(a+b) [/mm] - ab(a+b) [mm] +a^{2}(ab) [/mm] - [mm] 2ab^{2}.
[/mm]
->....-> = [mm] 2a^{3} [/mm] - [mm] 2a^{2}b-3ab^{2}+a^{3}b+b^{3}.
[/mm]
Liege ich mit meiner Berechnung richtig?
Wie kann ich hier weiterverfahren, damit ich zum Ziel komme?
DANKE
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> A= [mm]\pmat{ a & b & b \\ b & a & -a \\ a+b & a+b & 2a }.[/mm]
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> Zeigen Sie, dass A genau dann vollen Rang hat, wenn für
> die reellen Parameter a,b gilt: [mm]a^{2}[/mm] ungleich [mm]b^{2}[/mm] und b
> ungleich 3a.
> Meine Idee: A hat genau dann vollen Rang, wenn det(A)
> ungleich 0 ist.
>
> Dann berechne ich die Det. und komme zu folgendem
> Ergebnis:
> det (A)= [mm]2a^{3}[/mm] - ab(a+b) + [mm]b^{2}(a+b)[/mm] - ab(a+b)
> [mm]+a^{2}(a\red{+}b)[/mm] - [mm]2ab^{2}.[/mm]
Hallo,
an der markeirten Stelle fehlte zuvor das +-Zeichen, und dieser Fehler wird sich durchziehen.
Im Prinzip ist es richtig, daß Du feststellen möchtest, für welche a,b die Determinante =0 wird.
Du kannst Dir solche Berechnungen oftmals noch entschieden vereinfachen, indem Du solche Zeilen- bzw. Spaltenumformungen durchführst, die bei der Determinantenberechnung erlaubt sind.
(Also in irgendwelchen Spalten oder Zeilen Nullen machen.)
Gruß v. Angela
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> ->....-> = [mm]2a^{3}[/mm] - [mm]2a^{2}b-3ab^{2}+a^{3}b+b^{3}.[/mm]
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> Liege ich mit meiner Berechnung richtig?
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> Wie kann ich hier weiterverfahren, damit ich zum Ziel
> komme?
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> DANKE
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