Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{m \times n} [/mm] , m > n , Rang(A) = n.
Zeige: [mm] A^{T}A \in \IR^{n \times n} [/mm] ist regulär. |
Hallo,
ich habe leider keine Möglichkeit gefunden dies zu zeigen. Ich habe versucht [mm] A^{T}A [/mm] konkret auszurechnen und dann die lineare Unabhängigkeit der Spalten von A bzw. Zeilen von [mm] A^{T} [/mm] zu nutzen um zu zeigen, das auch die Zeilen/Spalten von [mm] A^{T}A [/mm] linear unabhängig sind. Leider bin ich so nicht weitergekommen.
Kann man das so zeigen? Gibt es ansonsten andere und "kürzere" bzw. "schönere" Beweise dazu? (Z.B. über Dimensionsformeln oder ähnliches).
Falls jemand dazu eine Online Lösung kennt würde mich diese auch interessieren.
Besten Dank fürs Lesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Do 21.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei A [mm]\in \IR^{m \times n}[/mm] , m > n , Rang(A) = n.
> Zeige: [mm]A^{T}A \in \IR^{n \times n}[/mm] ist regulär.
> Hallo,
>
> ich habe leider keine Möglichkeit gefunden dies zu zeigen.
> Ich habe versucht [mm]A^{T}A[/mm] konkret auszurechnen und dann die
> lineare Unabhängigkeit der Spalten von A bzw. Zeilen von
> [mm]A^{T}[/mm] zu nutzen um zu zeigen, das auch die Zeilen/Spalten
> von [mm]A^{T}A[/mm] linear unabhängig sind. Leider bin ich so nicht
> weitergekommen.
> Kann man das so zeigen? Gibt es ansonsten andere und
> "kürzere" bzw. "schönere" Beweise dazu? (Z.B. über
> Dimensionsformeln oder ähnliches).
begründe, dass für $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] gilt
[mm] $x^T*(A^TA)*x [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
(Hinweis: Setze [mm] $y:=Ax\,.$) [/mm]
Was weißt Du nun über positiv definite Matrizen?
P.S. Beachte dabei, dass
[mm] $\IR^n \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] y:=Ax [mm] \in \IR^m$
[/mm]
injektiv ist. (Hier geht die Voraussetzung [mm] $\text{rang}(A)=n$ [/mm] ein!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Do 21.08.2014 | | Autor: | Stephan123 |
Alles klar, besten Dank für die Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Fr 22.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Es gibt 2 Möglichkeiten:
1. Ihr hattet
(*) $Kern(A)=Kern(A^TA).$
Wenn ja, so benutze dies !
2. (*) hattet Ihr nicht. Dann beweise es !
Die Inklusion [mm] "\subseteq" [/mm] ist klar. Versuch Dich also an [mm] "\supseteq".
[/mm]
FRED
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