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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:52 Di 25.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | (a) Geben sie Matrizen A,B [mm] \in M_3(\IR) [/mm] an mit rank(A)=rank(B)=2 und rank(AB)=1
(b)Gibt es A,B [mm] \in M_4(IR) [/mm] mit rank(A)=rank(B)=3 und rank(AB)=1? |
Hallo,
zu a) ich bastel schon die ganze zeit rum, bekomme aber irgendwie nie rank(AB) gleich 1 raus. Langsam denke ich, dass ich was falsch verstanden habe. Bedeutet [mm] M_3 [/mm] dass es sich um eine 3x3 Matrix handelt?
Ich muss mir doch zwei Matrizen überlegen bei denen der Rang gleich 2 ist aber die Multiplikation der beiden muss den Rang 1 haben?
zu b) Ich denke mal, dass hier nach einem Widerspruch gefragt ist, aber wie mach ich das?
Danke im voraus!
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> (a) Geben sie Matrizen A,B [mm]\in M_3(\IR)[/mm] an mit
> rank(A)=rank(B)=2 und rank(AB)=1
>
> (b)Gibt es A,B [mm]\in M_4(IR)[/mm] mit rank(A)=rank(B)=3 und
> rank(AB)=1?
> Hallo,
>
>
> zu a) ich bastel schon die ganze zeit rum, bekomme aber
> irgendwie nie rank(AB) gleich 1 raus. Langsam denke ich,
> dass ich was falsch verstanden habe
Nein hast Du nicht. Ich hab keine Ahnung wie Du gebastelt hast .
Nimm mal A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 } [/mm] und für B machst Du den Ansatz
B= [mm] \pmat{ a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w } [/mm]
Berechne damit AB (das geht schnell).
Bestimme nun a,b,.... , so dass B den Rang 2 hat, AB aber den Rang 1 (da gibts viele Möglichkeiten ! )
> . Bedeutet [mm]M_3[/mm] dass es
> sich um eine 3x3 Matrix handelt?
Ja
> Ich muss mir doch zwei Matrizen überlegen bei denen der
> Rang gleich 2 ist aber die Multiplikation der beiden muss
> den Rang 1 haben?
>
>
> zu b) Ich denke mal, dass hier nach einem Widerspruch
> gefragt ist, aber wie mach ich das?
>
>
>
>
> Danke im voraus!
>
>
> Lg Melisa
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Di 25.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
danke erstmal für die Antwort und deinem Hinweis.
ich habs so gemacht wie du gesagt hast und habe
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0& 0 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0& 0 }
[/mm]
[mm] AB=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 }
[/mm]
A und B haben Rang 2 und AB Rang 1.
Jetzt zu b) ich denke, dass es nicht geht, aber weiß nicht wie ich es zeigen soll. Soll ich so vorgehen wie bei der a?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 25.01.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
zur b)
B hat Rang 3, d.h. das Bild von B, [mm] $\text{Bild}(B)=\{Bx\ |\ x\in\IR^4\}$, [/mm] ist ein 3-dimensionaler, linearer Teilraum vom [mm] $\IR^4$. [/mm] Das gleiche gilt für A.
Jetzt kann man die Abbildung AB nicht nur so $(AB)x$ sondern auch so $A(Bx)$ klammern, also ist das Bild von AB
[mm] $\text{Bild}(AB)=\{ABx\ |\ x\in\IR^4\}=\{Ay\ |\ y\in \text{Bild}(B)\}$
[/mm]
[mm] $\text{Bild}(B)$ [/mm] ist 3-dim, wenn Du A darauf anwendest kannst Du maximal eine Dimension verlieren, also ist das Bild von AB mindestens 2-dim
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Di 25.01.2011 | | Autor: | melisa1 |
und da dim=rang ist kann der rang nicht 1 sein, sondern muss mindestens 2 sein. Super danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Do 27.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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