Randwertproblem < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:01 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe die Aufgabe mit dem Produktansatz versucht zu lösen:
$ T''X-aX''T=0 |:TX $
Trennung der Variablen
[mm] \bruch{T''}{T}=a\bruch{X''}{X}
[/mm]
Verhältnis konstant, daher konstant c gewählt:
[mm] \bruch{T''}{T}=c=a\bruch{X''}{X}
[/mm]
1.Tp.
[mm] c=a\bruch{X''}{X}
[/mm]
[mm] X''=\bruch{cX}{a}
[/mm]
[mm] X''-\bruch{cX}{a}=0
[/mm]
Char.Pol.:
[mm] \lambda^2=\bruch{c}{a}
[/mm]
Ich kürz jetzt mal bisschen ab, da ich mir sicher bin, dass dieser Teil richtig ist.
Für [mm] \bruch{c}{a}>0 [/mm] und [mm] \bruch{c}{a}=0 [/mm] ->Uninteressant, da [mm] k_{1}=k_{2}=0
[/mm]
Für [mm] \bruch{c}{a}<0:
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=\pm i\wurzel{\bruch{c}{a}}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)
[/mm]
Nun die Randb. eingesetzt:
[mm] X(0)=k_{1}=0
[/mm]
[mm] X(L)=k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}L)=0
[/mm]
Tritt ein wenn:
[mm] \wurzel{\bruch{c}{a}}L=n\pi
[/mm]
[mm] c=a(\bruch{n\pi}{L})^2
[/mm]
Und letzendlich:
[mm] X(x)=k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})
[/mm]
2.Tp.
[mm] \bruch{T''}{T}=c
[/mm]
$ T''-Tc=0 $
[mm] c=a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] eingesetzt:
$ [mm] T''-T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0 [/mm] $
Char.Pol.:
[mm] \lambda^2=a(\bruch{n\pi}{L})
[/mm]
Soweit ist alles richtig oder?
Nun für $ a>0 $:
[mm] \lambda_{1/2}=\pm \wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})
[/mm]
[mm] T(t)=k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}
[/mm]
Für a=0:
[mm] \lambda_{1/2}=0
[/mm]
[mm] T(t)=k_{3}+k_{4}x
[/mm]
Für $ a<2 $:
[mm] \lambda_{1/2}=\pm i\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})
[/mm]
[mm] T(t)=k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)
[/mm]
Und nun zu meiner Frage, es gibt ja keine Randbedingug füt t. Welches von den 3 T(t) nehme ich dann für meine endgültige Lösung [mm] u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}T(t)X(x)?
[/mm]
Vielen Dank schonmal im Voraus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo,
Ich habe jetzt noch bissle drüber nachgedacht und mir ist eine neue Idee gekommen. Kann es sein, dass es irgendwie mit der Anfangsbedingung [mm] u_{tt}-au_{xx}=0 [/mm] in Zusammenahng steht?
Gruß
Boki87
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 So 25.01.2009 | | Autor: | Yougo |
Hallo Boki87,
ich kann dir zwar nichts zu deiner T(t) frage sagen, aber zur anderen Frage. Soweit ich das sehe stimmt die Rechnung.
Gruß
Yougo
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Hallo Boki87,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Ich habe die Aufgabe mit dem Produktansatz versucht zu
> lösen:
>
> [mm]T''X-aX''T=0 |:TX[/mm]
>
> Trennung der Variablen
>
> [mm]\bruch{T''}{T}=a\bruch{X''}{X}[/mm]
>
> Verhältnis konstant, daher konstant c gewählt:
>
> [mm]\bruch{T''}{T}=c=a\bruch{X''}{X}[/mm]
>
> 1.Tp.
>
> [mm]c=a\bruch{X''}{X}[/mm]
>
> [mm]X''=\bruch{cX}{a}[/mm]
>
> [mm]X''-\bruch{cX}{a}=0[/mm]
>
> Char.Pol.:
> [mm]\lambda^2=\bruch{c}{a}[/mm]
>
> Ich kürz jetzt mal bisschen ab, da ich mir sicher bin, dass
> dieser Teil richtig ist.
>
> Für [mm]\bruch{c}{a}>0[/mm] und [mm]\bruch{c}{a}=0[/mm] ->Uninteressant, da
> [mm]k_{1}=k_{2}=0[/mm]
>
> Für [mm]\bruch{c}{a}<0:[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=\pm i\wurzel{\bruch{c}{a}}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)[/mm]
>
> Nun die Randb. eingesetzt:
>
> [mm]X(0)=k_{1}=0[/mm]
> [mm]X(L)=k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}L)=0[/mm]
>
> Tritt ein wenn:
> [mm]\wurzel{\bruch{c}{a}}L=n\pi[/mm]
>
> [mm]c=a(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm]
>
> Und letzendlich:
>
> [mm]X(x)=k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})[/mm]
>
> 2.Tp.
>
> [mm]\bruch{T''}{T}=c[/mm]
>
> [mm]T''-Tc=0[/mm]
>
> [mm]c=a(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]T''-T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0[/mm]
>
> Char.Pol.:
>
> [mm]\lambda^2=a(\bruch{n\pi}{L})[/mm]
>
> Soweit ist alles richtig oder?
>
> Nun für [mm]a>0 [/mm]:
>
> [mm]\lambda_{1/2}=\pm \wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})[/mm]
>
> [mm]T(t)=k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}[/mm]
>
> Für a=0:
>
> [mm]\lambda_{1/2}=0[/mm]
>
> [mm]T(t)=k_{3}+k_{4}x[/mm]
>
> Für [mm]a<2 [/mm]:
>
> [mm]\lambda_{1/2}=\pm i\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})[/mm]
>
> [mm]T(t)=k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)[/mm]
>
>
> Und nun zu meiner Frage, es gibt ja keine Randbedingug füt
> t. Welches von den 3 T(t) nehme ich dann für meine
> endgültige Lösung [mm]u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}T(t)X(x)?[/mm]
Mit dem ermittelten [mm]\lambda[/mm] liegt auch die DGL für T fest.
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Sorry aber mir ist nicht klar wie des zusammenliegt?
Ich krieg ja für die verschiedenen Fälle von a auch verschiedene [mm] \lambda [/mm] raus. Und woran erkenne ich jetzt welches das Richtige [mm] \lambda [/mm] ist?
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Sorry aber mir ist nicht klar wie des zusammenliegt?
>
> Ich krieg ja für die verschiedenen Fälle von a auch
> verschiedene [mm]\lambda[/mm] raus. Und woran erkenne ich jetzt
> welches das Richtige [mm]\lambda[/mm] ist?
>
Das sind diejenigen [mm]\lambda[/mm] für
die sich sinnvolle Lösungen X ergeben.
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Ich glaube das ist mein Problem für T(t) da in meinen Augen jedes der 3 [mm] \lambda [/mm] vernünftige Lösungen ergibt.
Für X(x) war mir klar, dass nur das eine [mm] \lambda [/mm] Sinn macht, das die Randbedingung u(t,0)=u(t,L)=0 erfüllt ohne das [mm] K_{1}=k_{2}=0 [/mm] sind.
Aber für T(t) habe ich ja keine solche Bedingung und deshalb ist mir nicht klar für welches [mm] \lambda [/mm] sinnvolle Lösungen rauskommen.
Danke schön
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Ich glaube das ist mein Problem für T(t) da in meinen Augen
> jedes der 3 [mm]\lambda[/mm] vernünftige Lösungen ergibt.
>
> Für X(x) war mir klar, dass nur das eine [mm]\lambda[/mm] Sinn
> macht, das die Randbedingung u(t,0)=u(t,L)=0 erfüllt ohne
> das [mm]K_{1}=k_{2}=0[/mm] sind.
Für [mm]-\lambda^{2}=\bruch{c}{a}<0[/mm] gibt es sinnvolle Lösungen für X.
Nun haben wir die DGL für T:
[mm]T''-c*T=0[/mm]
Für die Lösungen gibt es wieder 2 Fälle:
i)[mm]c>0 \wedge a<0[/mm]
ii) [mm]c<0 \wedge a>0 [/mm]
Für diese 2 Fälle mußt Du die entsprechende DGL lösen.
>
> Aber für T(t) habe ich ja keine solche Bedingung und
> deshalb ist mir nicht klar für welches [mm]\lambda[/mm] sinnvolle
> Lösungen rauskommen.
Für T gibt es 2 Lösungen.
>
> Danke schön
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
> Nun haben wir die DGL für T:
>
> [mm]T''-c*T=0[/mm]
>
> Für die Lösungen gibt es wieder 2 Fälle:
>
> i)[mm]c>0 \wedge a<0[/mm]
>
> ii) [mm]c<0 \wedge a>0[/mm]
>
> Für diese 2 Fälle mußt Du die entsprechende DGL lösen.
>
Aber mein $ [mm] T''-T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0 [/mm] $ sieht so aus, denn ich habe nach c so umgeformt $ [mm] c=a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $ und eingesetzt.
Das char.Pol. sieht dann so aus:
$ [mm] \lambda_{1/2}=\pm \wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}) [/mm] $
Wieso muss ich denn nun auch beachten ob c größer oder kleiner 0 ist wenn es gar nicht mehr in meinem char.Pol. auftaucht?
Danke schön
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> > Nun haben wir die DGL für T:
> >
> > [mm]T''-c*T=0[/mm]
> >
> > Für die Lösungen gibt es wieder 2 Fälle:
> >
> > i)[mm]c>0 \wedge a<0[/mm]
> >
> > ii) [mm]c<0 \wedge a>0[/mm]
> >
> > Für diese 2 Fälle mußt Du die entsprechende DGL lösen.
> >
>
>
> Aber mein [mm]T''-T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0[/mm] sieht so aus, denn
> ich habe nach c so umgeformt [mm]c=a(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm] und
> eingesetzt.
>
> Das char.Pol. sieht dann so aus:
> [mm]\lambda_{1/2}=\pm \wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})[/mm]
Das stimmt nicht:
[mm]\lambda^{2}=-\bruch{c}{a} \Rightarrow c=-a*\lambda^{2}[/mm]
Dann erhältst Du:
[mm]T''-c*T=T''+a\lambda^{2}T=0[/mm]
>
> Wieso muss ich denn nun auch beachten ob c größer oder
> kleiner 0 ist wenn es gar nicht mehr in meinem char.Pol.
> auftaucht?
Gut c mußt Du nicht beachten, dafür aber das a.
>
> Danke schön
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 So 25.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo MathePower, vielen Dank für die Mühe.
Aber wieso stimmt das nicht?
Wenn ich jetzt nocheinmal das 1.Tp. betrachte, also für X(x).
Für $ [mm] \bruch{c}{a}<0: [/mm] $ gibt es eine Lösung, denn ich kriege folgendes $ [mm] X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}x) [/mm] $.
Ich setzte nun die Randbedingungen ein:
$ [mm] X(0)=k_{1}=0 [/mm] $(1)
$ [mm] X(L)=k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}L)=0 [/mm] $(2)
Nun gibts es 2.Möglichkeiten, damit die (2) Bedingung erfüllt wird. Entweder [mm] k_{2}=0, [/mm] aber das führt zu einer uninteressant Lösung, oder wenn der Sinusteil 0 wird.
Und der Sinusteil wird 0 wenn $ [mm] \wurzel{\bruch{c}{a}}L=n\pi, n\in\IZ$.
[/mm]
Und aus diesem Verhältnis folgt mein $ [mm] c=a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $.
Und dieses c setzt ich dann in $ [mm] T''-c\cdot{}T=0 [/mm] $ ein. Das führt dann zu $ [mm] T''-T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0 [/mm] $ und letzendlich zum Char.Pol.:$ [mm] \lambda_{1/2}=\pm \wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}) [/mm] $
Gruß
Boki87
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo
Das einzige was sein kann ist, dass $ [mm] c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $ da $ [mm] \bruch{c}{a}<0: [/mm] $ und somit c oder a negativ sein müssen.
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo MathePower, vielen Dank für die Mühe.
>
> Aber wieso stimmt das nicht?
Das [mm]\lambda[/mm] das sich ergibt, lautet:
[mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{-\bruch{c}{a}}, \ \bruch{c}{a}<0[/mm]
> Wenn ich jetzt nocheinmal das 1.Tp. betrachte, also für
> X(x).
>
> Für [mm]\bruch{c}{a}<0:[/mm] gibt es eine Lösung, denn ich kriege
> folgendes
> [mm]X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}x) [/mm].
Demnach lautet für diesen Fall die Lösung:
[mm]X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x) [/mm]
[mm]=k_{1}cos(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x) [/mm]
>
> Ich setzte nun die Randbedingungen ein:
>
> [mm]X(0)=k_{1}=0 [/mm](1)
>
> [mm]X(L)=k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}L)=0 [/mm](2)
>
> Nun gibts es 2.Möglichkeiten, damit die (2) Bedingung
> erfüllt wird. Entweder [mm]k_{2}=0,[/mm] aber das führt zu einer
> uninteressant Lösung, oder wenn der Sinusteil 0 wird.
> Und der Sinusteil wird 0 wenn [mm]\wurzel{\bruch{c}{a}}L=n\pi, n\in\IZ[/mm].
Auch hier: [mm]\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}L=n\pi, n\in\IZ[/mm].
>
> Und aus diesem Verhältnis folgt mein [mm]c=a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm].
Dann folgt [mm]c=\red{-}a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm].
>
> Und dieses c setzt ich dann in [mm]T''-c\cdot{}T=0[/mm] ein. Das
> führt dann zu [mm]T''-T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0[/mm] und letzendlich
Das führt dann zu [mm]T''\red{+}T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0[/mm]
> zum Char.Pol.:[mm] \lambda_{1/2}=\pm \wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})[/mm]
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo Mathepower,
> Das [mm]\lambda[/mm] das sich ergibt, lautet:
>
> [mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{-\bruch{c}{a}}, \ \bruch{c}{a}<0[/mm]
> Demnach lautet für diesen Fall die Lösung:
>
> [mm]X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)[/mm]
>
> [mm]=k_{1}cos(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)[/mm]
>
Mein [mm] \lambda [/mm] lautet $ [mm] \lambda_{1/2}=\pm i\wurzel{\bruch{c}{a}} [/mm] $, dies entspricht ja deinem [mm] \lambda.
[/mm]
Daraus folgt dann:
[mm] X(x)=k_{1}e^{i\wurzel{\bruch{c}{a}}x}+k_{2}e^{-i\wurzel{\bruch{c}{a}}x}
[/mm]
Und wenn ich jetzt in reel. umwandele:
$ [mm] X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}x) [/mm] $
Aber ich komme auch auf die Lösung $ [mm] c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $, da c oder a negativ sein müssen damit $ [mm] \bruch{c}{a}<0. [/mm] $
Genau dann krieg ich folgendes:
>$ [mm] T''\red{+}T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0 [/mm] $
Und dies führt zu:
Nun für a<0:
$ [mm] \lambda_{1/2}=\pm \wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}) [/mm] $
$ [mm] T(t)=k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t} [/mm] $
Für a=0:
$ [mm] \lambda_{1/2}=0 [/mm] $
$ [mm] T(t)=k_{3}+k_{4}x [/mm] $
Für a>0:
$ [mm] \lambda_{1/2}=\pm i\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}) [/mm] $
$ [mm] T(t)=k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t) [/mm] $
Sind denn nun alle drei T(t) Teil der Lösung?
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo Mathepower,
>
>
>
> > Das [mm]\lambda[/mm] das sich ergibt, lautet:
> >
> > [mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{-\bruch{c}{a}}, \ \bruch{c}{a}<0[/mm]
>
> > Demnach lautet für diesen Fall die Lösung:
> >
> >
> [mm]X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)[/mm]
> >
> >
> [mm]=k_{1}cos(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)[/mm]
> >
>
> Mein [mm]\lambda[/mm] lautet [mm]\lambda_{1/2}=\pm i\wurzel{\bruch{c}{a}} [/mm],
> dies entspricht ja deinem [mm]\lambda.[/mm]
> Daraus folgt dann:
>
> [mm]X(x)=k_{1}e^{i\wurzel{\bruch{c}{a}}x}+k_{2}e^{-i\wurzel{\bruch{c}{a}}x}[/mm]
>
> Und wenn ich jetzt in reel. umwandele:
>
> [mm]X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\bruch{c}{a}}x)[/mm]
>
> Aber ich komme auch auf die Lösung [mm]c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm],
> da c oder a negativ sein müssen damit [mm]\bruch{c}{a}<0.[/mm]
>
>
> Genau dann krieg ich folgendes:
>
> >[mm] T''\red{+}T(a(\bruch{n\pi}{L})^2)=0[/mm]
>
> Und dies führt zu:
>
> Nun für a<0:
>
> [mm]\lambda_{1/2}=\pm \wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})[/mm]
>
> [mm]T(t)=k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}[/mm]
>
> Für a=0:
>
> [mm]\lambda_{1/2}=0[/mm]
>
> [mm]T(t)=k_{3}+k_{4}x[/mm]
>
> Für a>0:
>
> [mm]\lambda_{1/2}=\pm i\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})[/mm]
>
> [mm]T(t)=k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)[/mm]
>
>
> Sind denn nun alle drei T(t) Teil der Lösung?
Der Fall a=0 ist ausgeschlossen.
Aus der Kenntnis der anderen T(t) setzen sich
jetzt die möglichen Lösungen zusammen.
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo Mathepower, vielen Dank.
Ich glaube ich habe soeben eine Einleuchtung gekriegt![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") :
Das einzig richtige T(t) ist für den Fall a>0, denn dann stimmt folgendes: $ [mm] c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $.
Wenn mein a<0 wäre, würde es dazu führen das [mm] \bruch{c}{a}>0 [/mm] wenn ich's hier einsetzt: $ [mm] c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $.
Und das wäre ja ein Wiederspruch zu meinen Berechnung für X(x).
Das stimmt doch so oder?
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo Mathepower, vielen Dank.
>
> Ich glaube ich habe soeben eine Einleuchtung
> gekriegt:
>
> Das einzig richtige T(t) ist für den Fall a>0, denn dann
> stimmt folgendes: [mm]c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm].
Das stimmt auch für a<0 und c>0.
>
> Wenn mein a<0 wäre, würde es dazu führen das [mm]\bruch{c}{a}>0[/mm]
> wenn ich's hier einsetzt: [mm]c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm].
>
> Und das wäre ja ein Wiederspruch zu meinen Berechnung für
> X(x).
>
> Das stimmt doch so oder?
Nein, da ist ein Denkfehler drin.
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo MathePower,
> Das stimmt auch für a<0 und c>0.
Für diesen Fall habe ich doch dann stehen $ [mm] c=a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $. Dadurch das a<0 hebt sich das Minus auf.
Nun kann ich ja Umformen:
[mm] \bruch{c}{a}=(\bruch{n\pi}{L})^2
[/mm]
n und L sind stets positiv, somit ist mein [mm] \bruch{c}{a}>0.
[/mm]
Und das ist doch ein Widerspruch zu meinen Berechnungen für X(x), denn dort gabs nur eine Lösung für [mm] \bruch{c}{a}<0.
[/mm]
Wo ist denn mein Denkfehler?
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo MathePower,
>
> > Das stimmt auch für a<0 und c>0.
>
> Für diesen Fall habe ich doch dann stehen
> [mm]c=a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm]. Dadurch das a<0 hebt sich das
> Minus auf.
[mm]c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm]
Da a<0 gilt [mm]-a=\vmat{a}[/mm]
Daher lautet dann die Gleichung:
[mm]c=\vmat{a}*(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm]
>
> Nun kann ich ja Umformen:
>
> [mm]\bruch{c}{a}=(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm]
Umgeformt ist das dann:
[mm]\bruch{c}{\vmat{a}}=(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm]
Und da a<0 gilt:
[mm]-\bruch{c}{a}=(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm]
>
> n und L sind stets positiv, somit ist mein [mm]\bruch{c}{a}>0.[/mm]
>
> Und das ist doch ein Widerspruch zu meinen Berechnungen für
> X(x), denn dort gabs nur eine Lösung für [mm]\bruch{c}{a}<0.[/mm]
>
> Wo ist denn mein Denkfehler?
>
> Gruß
> Boki87
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo MathePower,
wie sieht denn dann meine endgültige Lösung aus?
[mm] u(t,x)=\summe_{i=1}^{n}k_{2}sin(\bruch{in\pi}{L})*(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t))
[/mm]
[mm] u(t,x)=\summe_{i=1}^{n}k_{2}sin(\bruch{in\pi}{L})(k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}) [/mm]
oder
[mm] u(t,x)=\summe_{i=1}^{n}k_{2}sin(\bruch{in\pi}{L})*(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t))*(k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t})
[/mm]
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Hallo Boki87,
> Hallo MathePower,
>
> wie sieht denn dann meine endgültige Lösung aus?
>
> [mm]u(t,x)=\summe_{i=1}^{n}k_{2}sin(\bruch{in\pi}{L})*(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t))[/mm]
>
[mm]u(t,x)=\summe_{i=1}^{n}k_{2}sin(\bruch{i\pi}{L})*(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{\red{i}\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{\red{i}\pi}{L}t))[/mm]
> [mm]u(t,x)=\summe_{i=1}^{n}k_{2}sin(\bruch{in\pi}{L})(k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t})[/mm]
[mm]u(t,x)=\summe_{i=1}^{n}k_{2}sin(\bruch{i\pi}{L})(k_{3}e^{\wurzel{\vmat{a}}(\bruch{\red{i}\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{\vmat{a}}(\bruch{\red{i}\pi}{L})t})[/mm]
Das sind die richtigen Lösungen, wobei erstere für a>0 und letztere für a<0
gilt.
Hmm, muß die Summe eine endliche oder eine unendliche sein?
>
> oder
>
> [mm]u(t,x)=\summe_{i=1}^{n}k_{2}sin(\bruch{in\pi}{L})*(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t))*(k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t})[/mm]
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo Mathepower, Entschuldigung da ist etwas beim Summenzeichen schief gegangen.
$ [mm] u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})\cdot{}(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)) [/mm] $
$ [mm] u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})(k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}) [/mm] $
Nur noch eine kurze Frage, wenn ich dann den Teil b habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Muss ich dann echt für beide Fälle dies berechnen?
Gruß
Boki87
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Boki87,
> Hallo Mathepower, Entschuldigung da ist etwas beim
> Summenzeichen schief gegangen.
>
> [mm]u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})\cdot{}(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t))[/mm]
>
> [mm]u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})(k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t})[/mm]
>
> Nur noch eine kurze Frage, wenn ich dann den Teil b habe:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Muss ich dann echt für beide Fälle dies berechnen?
Es wird sich aufgrund der Randbedingungen herausstellen,
daß eine mögliche Lösung diese nicht erfüllen kann.
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo Mathepower, mir ist soeben etwas aufgefallen.
Ich habe ja die Lösung für a>0:
$ [mm] u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})\cdot{}(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)) [/mm] $
und für a<0:
$ [mm] u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})(k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}) [/mm] $
Und da a<0, also somit negativ ist, ist [mm] \wurzel{a}=i*\wurzel{a}. [/mm] Das führt zu:
$ [mm] u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})(k_{3}e^{i*\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-i*\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}) [/mm] $
Und das kann ich wiederrum umformen zu:
$ [mm] u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})\cdot{}(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)) [/mm] $
Somit kriege ich beides mal die selbe Lösung raus, oder?
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo Mathepower, mir ist soeben etwas aufgefallen.
>
> Ich habe ja die Lösung für a>0:
>
> [mm]u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})\cdot{}(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t))[/mm]
>
> und für a<0:
>
> [mm]u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})(k_{3}e^{\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t})[/mm]
>
> Und da a<0, also somit negativ ist, ist
> [mm]\wurzel{a}=i*\wurzel{a}.[/mm] Das führt zu:
>
> [mm]u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})(k_{3}e^{i*\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-i*\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L})t})[/mm]
>
> Und das kann ich wiederrum umformen zu:
>
> [mm]u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})\cdot{}(k_{3}cos(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t)+k_{4}sin(\wurzel{a}(\bruch{n\pi}{L}t))[/mm]
>
> Somit kriege ich beides mal die selbe Lösung raus, oder?
Nein, das sind unterschiedlihe Lösungen.
Bei der 2. Lösung (a<0) mußt Du korrekterweise schreiben:
[mm]u(t,x)=\summe_{n=1}^{\infty}k_{2}sin(\bruch{n\pi}{L})(k_{3}e^{\wurzel{\blue{\vmat{a}}}(\bruch{n\pi}{L})t}+k_{4}e^{-\wurzel{\blue{\vmat{a}}}(\bruch{n\pi}{L})t})[/mm]
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo Mathepower,
warum ist denn für a<0 $ [mm] -a=\vmat{a} [/mm] $? Des soll schon a Betrag sein oder?
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo Mathepower,
>
> warum ist denn für a<0 [mm]-a=\vmat{a} [/mm]? Des soll schon a
> Betrag sein oder?
Ja.
Das ist die Definition der ![[]](/images/popup.gif) Betragsfunktion.
>
> Gruß
>
> Boki87
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo Mathepower,
> Da a<0 gilt [mm]-a=\vmat{a}[/mm]
>
Ok jetzt versteh ich das.
Vllt erkläre ich mal was ich mir die ganze Zeit vorgestellt habe:
Wenn a<0, dann ist a z.B. -2, oder -3 oder -4 usw.
Nehmen wir mal -2.
Nun hier für a eingesetzt:
$ [mm] c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $
habe ich doch
$ [mm] c=--2(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $
und das ist:
$ [mm] c=2(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $
Und allgemein hätte das so ausgesehen:
$ [mm] c=--a(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $
und das führt zu
$ [mm] \bruch{c}{a}=(\bruch{n\pi}{L})^2 [/mm] $ und da das immer positiv ist dachte ich das diese Lösung nicht sein kann da das einen Widerspruch bedeuten würde.
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo Mathepower,
>
> > Da a<0 gilt [mm]-a=\vmat{a}[/mm]
> >
> Ok jetzt versteh ich das.
>
> Vllt erkläre ich mal was ich mir die ganze Zeit vorgestellt
> habe:
>
> Wenn a<0, dann ist a z.B. -2, oder -3 oder -4 usw.
> Nehmen wir mal -2.
>
> Nun hier für a eingesetzt:
> [mm]c=-a(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm]
>
> habe ich doch
>
> [mm]c=--2(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm]
>
> und das ist:
>
> [mm]c=2(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm]
>
> Und allgemein hätte das so ausgesehen:
>
> [mm]c=--a(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm]
Hier ist bereits der Denkfehler:
Da a<0 ist [mm]-\left( \ -a \right)[/mm] ebenfalls <0.
Und bei der vorgehenden Gleichung steht da eine positive Zahl.
>
> und das führt zu
>
> [mm]\bruch{c}{a}=(\bruch{n\pi}{L})^2[/mm] und da das immer positiv
> ist dachte ich das diese Lösung nicht sein kann da das
> einen Widerspruch bedeuten würde.
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo MathePower
>
>
> Das [mm]\lambda[/mm] das sich ergibt, lautet:
>
> [mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{-\bruch{c}{a}}, \ \bruch{c}{a}<0[/mm]
>
Das [mm] \lambda [/mm] führt ja zu
$ [mm] \lambda_{1,2}=\pm \wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}, [/mm] \ [mm] \bruch{c}{a}<0 [/mm] $
Und daraus kriege ich:
[mm] X(x)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x}
[/mm]
Und das kann ich aber dann nicht mehr zu folgendem umformen, da ja jetzt oben das i fehlt:
> Demnach lautet für diesen Fall die Lösung:
>
> [mm]X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)[/mm]
>
> [mm]=k_{1}cos(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)[/mm]
>
>
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo MathePower
>
> >
> >
> > Das [mm]\lambda[/mm] das sich ergibt, lautet:
> >
> > [mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{-\bruch{c}{a}}, \ \bruch{c}{a}<0[/mm]
>
> >
>
> Das [mm]\lambda[/mm] führt ja zu
>
> [mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}, \ \bruch{c}{a}<0[/mm]
>
>
> Und daraus kriege ich:
>
> [mm]X(x)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x}[/mm]
>
> Und das kann ich aber dann nicht mehr zu folgendem
> umformen, da ja jetzt oben das i fehlt:
Das brauchst Du auch nicht.
>
> > Demnach lautet für diesen Fall die Lösung:
> >
> >
> [mm]X(x)=k_{1}cos(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\red{-}\bruch{c}{a}}x)[/mm]
> >
> >
> [mm]=k_{1}cos(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)+k_{2}sin(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x)[/mm]
> >
> >
>
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo Mathepower,
aber wenn ich nun die Randwertbedingungen einsetzte:
[mm] {X(0)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}0}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}0}} [/mm]
--> [mm] k_{1}=-k_{2}
[/mm]
$ [mm] X(L)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L} [/mm] $
$ [mm] X(L)=-k_{2}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L} $=k_{2}(e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}-e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L})
[/mm]
Und die einzige Lösung ist: [mm] k_{1}=k_{2}=0.
[/mm]
Und das ist doch falsch, dann hätte ich für alle X(x) uninteressante Lösungen.
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo Mathepower,
>
> aber wenn ich nun die Randwertbedingungen einsetzte:
>
> [mm]{X(0)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}0}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}0}}[/mm]
>
>
> --> [mm]k_{1}=-k_{2}[/mm]
>
> [mm]X(L)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}[/mm]
>
> [mm]X(L)=-k_{2}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}[/mm][mm] =k_{2}(e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}-e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L})[/mm]
>
> Und die einzige Lösung ist: [mm]k_{1}=k_{2}=0.[/mm]
>
> Und das ist doch falsch, dann hätte ich für alle X(x)
> uninteressante Lösungen.
Natürlich hast Du recht.
Für [mm]\bruch{c}{a}<0[/mm] erhältst Du die interessanten Lösungen für X(x).
Ich war zu sehr auf die Lösungen von T(t) fixiert.
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 01.02.2009 | | Autor: | Boki87 |
Hallo MathePower,
aber das ist ja das Problem.
Ich erhalte für $ [mm] \bruch{c}{a}<0 [/mm] $ auch keine interessant Lösung mehr.
Ich habe $ [mm] \lambda_{1,2}=\pm \wurzel{-\bruch{c}{a}}, [/mm] \ [mm] \bruch{c}{a}<0 [/mm] $ .
Das entspricht:
$ [mm] \lambda_{1,2}=\pm \wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}, [/mm] \ [mm] \bruch{c}{a}<0 [/mm] $
Und daraus kriege ich:
$ [mm] X(x)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x} [/mm] $
Nun die Randwertbed. eingesetzt:
$ [mm] {X(0)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}0}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}0}} [/mm] $
--> $ [mm] k_{1}=-k_{2} [/mm] $
$ [mm] X(L)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L} [/mm] $
$ [mm] X(L)=-k_{2}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L} [/mm] $$ [mm] =k_{2}(e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}-e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}) [/mm] $
Und die einzige Lösung ist: $ [mm] k_{1}=k_{2}=0. [/mm] $
Wo ist denn nun der Denkfehler, ich kriege für kein [mm] \bruch{c}{a} [/mm] eine interessant Lösung raus. Aber ich weiß das ist falsch.
Kann es sein, dass man die Def. der Betragsfunktion hier nicht anwenden darf? Aber das kann ja eigentlich auch nicht sein...
Gruß
Boki87
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Hallo Boki87,
> Hallo MathePower,
>
> aber das ist ja das Problem.
>
> Ich erhalte für [mm]\bruch{c}{a}<0[/mm] auch keine interessant
> Lösung mehr.
>
> Ich habe [mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{-\bruch{c}{a}}, \ \bruch{c}{a}<0[/mm]
> .
>
> Das entspricht:
>
> [mm]\lambda_{1,2}=\pm \wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}, \ \bruch{c}{a}<0[/mm]
>
> Und daraus kriege ich:
>
> [mm]X(x)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}x}[/mm]
>
> Nun die Randwertbed. eingesetzt:
>
> [mm]{X(0)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}0}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}0}}[/mm]
>
>
> --> [mm]k_{1}=-k_{2}[/mm]
>
> [mm]X(L)=k_{1}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}[/mm]
>
> [mm]X(L)=-k_{2}e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}+k_{2}e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}[/mm][mm] =k_{2}(e^{-\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L}-e^{\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}L})[/mm]
>
> Und die einzige Lösung ist: [mm]k_{1}=k_{2}=0.[/mm]
>
> Wo ist denn nun der Denkfehler, ich kriege für kein
> [mm]\bruch{c}{a}[/mm] eine interessant Lösung raus. Aber ich weiß
> das ist falsch.
Die DGL für X lautet ja allgemein:
[mm]X''-\bruch{c}{a}*X=0[/mm]
Ist jetzt [mm]\bruch{c}{a} <0 [/mm], so ergibt sich:
[mm]X''+\left(-\bruch{c}{a}\right)*X=0[/mm]
[mm]\gdw X''+\vmat{\bruch{c}{a}}*X=0[/mm]
Woraus sich dann die charakteristische Gleichung
[mm] \lambda^{2}+\vmat{\bruch{c}{a}}=0[/mm]
ergibt.
Diese hat als Lösungen:
[mm]\lambda_{1,2}=\pm i \wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}[/mm]
Somit ergibt sich die Lösung zu:
[mm]X\left(x\right)=c_{1}*\sin\left(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}} x\right)+c_{2}*\cos\left(\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}} x\right)[/mm]
Mit den Randbedingungen ergibt sich nun
[mm]\wurzel{\vmat{\bruch{c}{a}}}=\bruch{n \pi}{L}, \ n \in \IN[/mm]
> Kann es sein, dass man die Def. der Betragsfunktion hier
> nicht anwenden darf? Aber das kann ja eigentlich auch nicht
> sein...
>
> Gruß
> Boki87
Gruß
MathePower
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