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Hallo zusammen
Folgende Aufgabe sollte ich lösen:
Gebe für die Mengen
a) S:={ [mm] (x,y)\in \IR^2: x^2+y^2=2 [/mm] } [mm] \subset \IR^2
[/mm]
b) M={ [mm] (x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2 [/mm] }
jeweils den Rand und das Innere an & untersuche ob S kompakt ist.
Also ich habe nun für das Innere & den Rand folgendes erhalten:
a) [mm] \partial [/mm] S=S & S° [mm] =\emptyset
[/mm]
b) [mm] \partial [/mm] S=S & S° [mm] =\emptyset
[/mm]
Nun mit der Kompaktheit habe ich noch so meine Mühe.
Es gilt doch: (Heine Borell) K kompakt [mm] \gdw [/mm] K abgeschlossen & beschränkt (in [mm] \IR^n [/mm] & [mm] \IC^n, n\in\IN)
[/mm]
Ich denke mal diese 2 Mengen sind beide kompakt. (oder?)
Begründung: Da die Mengen beide nur aus ihren Randpunkten bestehen, ist die Menge abgeschlossen & beschränkt und somit kompakt.
Stimmt/Reicht das so?
Liebe Grüsse
Babybel
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Folgende Aufgabe sollte ich lösen:
> Gebe für die Mengen
> a) S:= [mm]\{ (x,y)\in \IR^2: x^2+y^2=2 \subset \IR^2 \}[/mm]
> b) M=
> [mm]\{ (x,y)\in \IR^2: e^{x^2+y^2}=2 \} [/mm]
> jeweils den Rand und das Innere an & untersuche ob S
> kompakt ist.
>
>
> Also ich habe nun für das Innere & den Rand folgendes
> erhalten:
> a) [mm]\partial[/mm] S=S & S° [mm]=\emptyset[/mm]
> b) [mm]\partial[/mm] S=S & S° [mm]=\emptyset[/mm]
>
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> Nun mit der Kompaktheit habe ich noch so meine Mühe.
> Es gilt doch: (Heine Borell) K kompakt [mm]\gdw[/mm] K abgeschlossen
> & beschränkt (in [mm]\IR^n[/mm] & [mm]\IC^n, n\in\IN)[/mm]
>
> Ich denke mal diese 2 Mengen sind beide kompakt. (oder?)
Ja.
> Begründung: Da die Mengen beide nur aus ihren Randpunkten
> bestehen, ist die Menge abgeschlossen & beschränkt und
> somit kompakt.
>
> Stimmt/Reicht das so?
Die Begründung ist falsch.
Randpunkt hat nicht sonderlich viel mit Beschränktheit zu tun.
Z.B. ist $ [mm] \{n \in \mathbb N \} \subseteq \mathbb [/mm] R$ sein eigener Rand aber definitiv nicht beschränkt.
Zeichne doch mal die Mengen, spätestens dann sollte eine Schranke ersichtlich werden.
> Liebe Grüsse
> Babybel
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Hallo MaslanyFanclub
Aber für die Abgeschlossenheit stimmt dies schon mit den Randpunkten, oder?
Also ich habe die Menge gezeichnet, und es ist einfach ein Kreis bei
a) mit Radius [mm] \wurzel{2}
[/mm]
b) mit Radius [mm] \wurzel{ln(2)}
[/mm]
Es ist ja klar das es beschränkt ist. Aber wie formuliere ich das jetzt mathematisch korrekt?
Liebe Grüsse
Babybel
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> Hallo MaslanyFanclub
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> Aber für die Abgeschlossenheit stimmt dies schon mit den
> Randpunkten, oder?
Ja
> Also ich habe die Menge gezeichnet, und es ist einfach ein
> Kreis bei
> a) mit Radius [mm]\wurzel{2}[/mm]
> b) mit Radius [mm]\wurzel{ln(2)}[/mm]
Ja.
> Es ist ja klar das es beschränkt ist. Aber wie formuliere
> ich das jetzt mathematisch korrekt?
Wie ist denn Beschränktheit definiert?
> Liebe Grüsse
> Babybel
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Hallo MaslanyFanclub
> >
> > Aber für die Abgeschlossenheit stimmt dies schon mit den
> > Randpunkten, oder?
> Ja
> > Also ich habe die Menge gezeichnet, und es ist einfach
> ein
> > Kreis bei
> > a) mit Radius [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > b) mit Radius [mm]\wurzel{ln(2)}[/mm]
> Ja.
> > Es ist ja klar das es beschränkt ist. Aber wie
> formuliere
> > ich das jetzt mathematisch korrekt?
> Wie ist denn Beschränktheit definiert?
Also die Definition lautet:
Eine Teilmenge M eines metrischen Raums (X,d) heisst beschränkt [mm] \gdw \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] X [mm] \exists [/mm] r >0: M [mm] \in B_r(a)
[/mm]
Das heisst meine Menge muss in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten sein. Als Radius könnte ich z.B. 3 wählen.
Stimmt das so?
Liebe Grüsse
Babybel
> > Liebe Grüsse
> > Babybel
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> Hallo MaslanyFanclub
> > >
> > > Aber für die Abgeschlossenheit stimmt dies schon mit den
> > > Randpunkten, oder?
> > Ja
> > > Also ich habe die Menge gezeichnet, und es ist
> einfach
> > ein
> > > Kreis bei
> > > a) mit Radius [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > > b) mit Radius [mm]\wurzel{ln(2)}[/mm]
> > Ja.
> > > Es ist ja klar das es beschränkt ist. Aber wie
> > formuliere
> > > ich das jetzt mathematisch korrekt?
> > Wie ist denn Beschränktheit definiert?
>
> Also die Definition lautet:
> Eine Teilmenge M eines metrischen Raums (X,d) heisst
> beschränkt [mm]\gdw \exists[/mm] a [mm]\in[/mm] X [mm]\exists[/mm] r >0: M [mm]\in B_r(a)[/mm]
Ich werde jetzt mal zu deinen Gunsten annehmen, dass dir [mm] der$\LaTeX$-Befehl [/mm] für Teilmenge unbekannt ist:
[mm] \subseteq
[/mm]
Ferner nehme ich M=X an.
> Das heisst meine Menge muss in einer Kugel mit endlichem
> Radius enthalten sein. Als Radius könnte ich z.B. 3
> wählen.
> Stimmt das so?
Könntest du. Oder einfach die Zahlen die oben stehen.
> Liebe Grüsse
> Babybel
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>
> > > Liebe Grüsse
> > > Babybel
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