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| Aufgabe | Hi könnte mir das bitte jemand verbessern:
"Bestimmen Sie jeweils den Rand, das Innere und den Abschluss von:
a) E = [mm] [a_1, b_1[ \times [a_2, b_2[ [/mm] für a, b [mm] \in \IR [/mm] und a <b
"
mfg |
Ich komme gleich zu meinem ersten Problem, denn ich muss ja feststellen ob dies offen oder geschlossen ist. Dabei sehe ich aber das dies weder offen noch geschlossen ist.
Dennoch wäre der Rand doch die Keislinie um die Punkte von [mm] \[a_1 [/mm] , [mm] b_1 \[ [/mm] und [mm] [a_2, b_2[
[/mm]
Das Innere würde doch alle Punkte innerhalb von ] [mm] a_1 [/mm] , [mm] b_1 [/mm] [ [mm] \times [a_2, b_2[ [/mm]
Abschluss:
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die die Gesamte Menge E + meinen Rand
Also wäre dies doch [mm] \[a_1 [/mm] , [mm] b_1 \] [/mm] und [mm] [a_2, b_2]
[/mm]
Bitte um eure Hilfe
mfg
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Hallo Steffen2361,
> Hi könnte mir das bitte jemand verbessern:
>
> "Bestimmen Sie jeweils den Rand, das Innere und den
> Abschluss von:
>
> a) E = [mm][a_1, b_1[ \times [a_2, b_2[[/mm] für a, b [mm]\in \IR[/mm] und a<b<b
<b
????? Was sind nun [mm]a,b[/mm] ?????
Wo spielen die mit ein?
<b
> mfg
> Ich komme gleich zu meinem ersten Problem, denn ich muss
> ja feststellen ob dies offen oder geschlossen ist. Dabei
> sehe ich aber das dies weder offen noch geschlossen ist.
Jo!
>
> Dennoch wäre der Rand doch die Keislinie um die Punkte von
> [mm]\[a_1[/mm] , [mm]b_1 \[[/mm] und [mm][a_2, b_2[[/mm]
Was soll das heißen? Eine Kreislinie um 2 Punkte und ein Intervall??
Welche Kreislinie? Welcher Radius?
Hast du dir mal [mm][a_1,b_1[\times [a_2,b_2[[/mm] für beispielhafte [mm]a_i,b_i[/mm] aufgemalt?
Was ist das denn für ein Gebilde?
Wenn du das mal zeichnest, sind all deine Fragen beantwortet ...
Und nein, der Rand ist keine Kreislinie ...
>
> Das Innere würde doch alle Punkte innerhalb von ] [mm]a_1[/mm] ,
> [mm]b_1[/mm] [ [mm]\times [a_2, b_2[[/mm]
Das Innere IST [mm]]a_1,b_1[\times ]a_2,b_2[[/mm]
>
> Abschluss:
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die die Gesamte
> Menge E + meinen Rand
Ja
>
> Also wäre dies doch [mm]\[a_1[/mm] , [mm]b_1 \][/mm] und [mm][a_2, b_2][/mm]
Das kann man nicht lesen, was ist [mm]b_1(0)[/mm] ?
>
> Bitte um eure Hilfe
Dann schreib das nochmal leserlich auf ...
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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</b
</b<b
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| Aufgabe | Ok nochmal die Angabe:
"Bestimmen Sie für die folgende Menge jeweils den Rand, das Innere und den Abschluss:
a) $ [mm] [a_1, b_1[ \times [a_2, b_2[ [/mm] $ für [mm] (a_i [/mm] , [mm] b_i \in \IR [/mm] , [mm] a_i \le b_i, [/mm] i =1,2) |
Meine Ideen:
So Habe ich die Angabe überhapt richtig verstanden, dass ich hierbei 2 "Zahlenstrahle" jeweils am Ursprung (im RechtenWinkel) übereinanderlege und dort meine 2 Mengen einzeichne? Oder bin ich dabei schon komplett falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Do 13.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok nochmal die Angabe:
>
> "Bestimmen Sie für die folgende Menge jeweils den Rand,
> das Innere und den Abschluss:
>
> a) [mm][a_1, b_1[ \times [a_2, b_2[[/mm] für [mm](a_i[/mm] , [mm]b_i \in \IR[/mm] ,
> [mm]a_i \le b_i,[/mm] i =1,2)
> Meine Ideen:
>
> So Habe ich die Angabe überhapt richtig verstanden, dass
> ich hierbei 2 "Zahlenstrahle" jeweils am Ursprung (im
> RechtenWinkel) übereinanderlege und dort meine 2 Mengen
> einzeichne? Oder bin ich dabei schon komplett falsch?
vielleicht gebe ich Dir mal einen direkten Hinweis:
Denke mal "rechteckig" (und mach' dir klar, was es bedeuten würde,
"Randlinie(n) wegzuschneiden..." - markiere etwa "nichtzugehörige
Ränder gestrichelt" und skizziere "dazugehörige Ränder meinetwegen
fett oder farbig, jedenfalls nicht gestrichelt").
Also mal ein ganz banales Beispiel:
$$[-1,1[ [mm] \times [/mm] [-1,1[$$
wäre ein (nicht abgeschlossenes) Quadrat mit Seitenlängen [mm] $1-(-1)=2\,,$ [/mm] die Eckpunkte wären
[mm] $$(-1/-1),\;(1/-1),\;(1/1),\;(-1/1)\,.$$
[/mm]
Allerdings gehören "die Strecken [mm] $\overline{(-1/1),\;(1/1)}$ [/mm] und
[mm] $\overline{(1/-1),\;(1/1)}$" [/mm] nicht zu dem obenstehenden Quadrat.
Ich würde Dir mal empfehlen, meine Behauptung zu beweisen. So schwer
ist das nicht, man sollte etwa bedenken
[mm] $$\overline{(-1/1),\;(1/1)}=\{x=(x_1/x_2) \in \IR^2:\;-1 \le x_1 \le 1 \text{ und }x_2=1\}=\{x=(x_1/1) \in \IR^2:\;-1 \le x_1 \le 1 \}\,.$$
[/mm]
P.S.
Ob Du das dann verstanden hast, werden wir am besten sehen, wenn
Du mal eine Skizze angefertigt hast - sofern Du sie hochladen kannst.
Oder mach' schnell eine etwa mit Paint...
P.P.S.
Ist Dir klar, dass etwa
$$[a,b] [mm] \times [c,d]=\{(x,y) \in \IR^2: a \le x \le b \text{ und }c \le y \le d\}$$
[/mm]
nur ein abgeschlossenes (kompaktes) Rechteck des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist? Also
jedenfalls im euklidischen Anschauungsraum. Mach' Dir einfach mal
die Eckpunkte dieses Rechtecks klar (Skizze! Der linke untere Punkt
ist [mm] $(a/c)\,,$...")
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Ok nochmal die Angabe:
> >
> > "Bestimmen Sie für die folgende Menge jeweils den Rand,
> > das Innere und den Abschluss:
> >
> > a) [mm][a_1, b_1[ \times [a_2, b_2[[/mm] für [mm](a_i[/mm] , [mm]b_i \in \IR[/mm] ,
> > [mm]a_i \le b_i,[/mm] i =1,2)
> > Meine Ideen:
> >
> > So Habe ich die Angabe überhapt richtig verstanden, dass
> > ich hierbei 2 "Zahlenstrahle" jeweils am Ursprung (im
> > RechtenWinkel) übereinanderlege und dort meine 2 Mengen
> > einzeichne? Oder bin ich dabei schon komplett falsch?
>
> vielleicht gebe ich Dir mal einen direkten Hinweis:
> Denke mal "rechteckig" (und mach' dir klar, was es
> bedeuten würde,
> "Randlinie(n) wegzuschneiden..." - markiere etwa
> "nichtzugehörige
> Ränder gestrichelt" und skizziere "dazugehörige Ränder
> meinetwegen
> fett oder farbig, jedenfalls nicht gestrichelt").
>
> Also mal ein ganz banales Beispiel:
> [mm][-1,1[ \times [-1,1[[/mm]
> wäre ein (nicht abgeschlossenes)
> Quadrat mit Seitenlängen [mm]1-(-1)=2\,,[/mm] die Eckpunkte wären
wie bist du drauf gekommen, das die Seitenlänge 1-(-1) =2 (ok, an der Skizze sehe ich es jetzt auch aber du hattest es doch schon früher)
> [mm](-1/-1),\;(1/-1),\;(1/1),\;(-1/1)\,.[/mm]
>
> Allerdings gehören "die Strecken [mm]\overline{(-1/1),\;(1/1)}[/mm]
> und
> [mm]\overline{(1/-1),\;(1/1)}[/mm]" nicht zu dem obenstehenden
> Quadrat.
>
> Ich würde Dir mal empfehlen, meine Behauptung zu beweisen.
> So schwer
> ist das nicht, man sollte etwa bedenken
> [mm]\overline{(-1/1),\;(1/1)}=\{x=(x_1/x_2) \in \IR^2:\;-1 \le x_1 \le 1 \text{ und }x_2=1\}=\{x=(x_1/1) \in \IR^2:\;-1 \le x_1 \le 1 \}\,.[/mm]
>
> P.S.
> Ob Du das dann verstanden hast, werden wir am besten
> sehen, wenn
> Du mal eine Skizze angefertigt hast - sofern Du sie
> hochladen kannst.
> Oder mach' schnell eine etwa mit Paint...
http://s1.directupload.net/file/d/3013/5floeug6_jpg.htm#
Habe es hochgeladen, denoch komme ich nicht ganz mit was ich beweißen solle
Oder wolltest du einfach nur die Längen ausgerechnet haben, sprich
[-1,-1]; ]1,-1]; [-1,1[; ]1,1[. Somit hätte ich die Gleichen Eckpunkte wie du.
>
> P.P.S.
> Ist Dir klar, dass etwa
> [mm][a,b] \times [c,d]=\{(x,y) \in \IR^2: a \le x \le b \text{ und }c \le y \le d\}[/mm]
>
> nur ein abgeschlossenes (kompaktes) Rechteck des [mm]\IR^2[/mm] ist?
> Also
> jedenfalls im euklidischen Anschauungsraum. Mach' Dir
> einfach mal
> die Eckpunkte dieses Rechtecks klar (Skizze! Etwa "linker
> untere Punkt
> hat Koordinaten [mm](a/c)\,,[/mm]...")
die anderen Koordianten wäre doch, (b,c) ; (a,d) ; (c,d)
Und es ist deswegen abgeschlossen, weil die Vereinigung von Abgeschlossen Teilmengen, wieder abgeschlossen sind
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Fr 14.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Ok nochmal die Angabe:
> > >
> > > "Bestimmen Sie für die folgende Menge jeweils den Rand,
> > > das Innere und den Abschluss:
> > >
> > > a) [mm][a_1, b_1[ \times [a_2, b_2[[/mm] für [mm](a_i[/mm] , [mm]b_i \in \IR[/mm] ,
> > > [mm]a_i \le b_i,[/mm] i =1,2)
> > > Meine Ideen:
> > >
> > > So Habe ich die Angabe überhapt richtig verstanden, dass
> > > ich hierbei 2 "Zahlenstrahle" jeweils am Ursprung (im
> > > RechtenWinkel) übereinanderlege und dort meine 2 Mengen
> > > einzeichne? Oder bin ich dabei schon komplett falsch?
> >
> > vielleicht gebe ich Dir mal einen direkten Hinweis:
> > Denke mal "rechteckig" (und mach' dir klar, was es
> > bedeuten würde,
> > "Randlinie(n) wegzuschneiden..." - markiere etwa
> > "nichtzugehörige
> > Ränder gestrichelt" und skizziere "dazugehörige
> Ränder
> > meinetwegen
> > fett oder farbig, jedenfalls nicht gestrichelt").
> >
> > Also mal ein ganz banales Beispiel:
> > [mm][-1,1[ \times [-1,1[[/mm]
> > wäre ein (nicht
> abgeschlossenes)
> > Quadrat mit Seitenlängen [mm]1-(-1)=2\,,[/mm] die Eckpunkte wären
>
> wie bist du drauf gekommen, das die Seitenlänge 1-(-1) =2
> (ok, an der Skizze sehe ich es jetzt auch aber du hattest
> es doch schon früher)
wie berechnet man denn die Seitenlängen eines Rechtecks - oder noch
einfacher: Wie berechnest Du auf dem Zahlenstrahl die Länge der Strecke
[mm] $\overline{x,y}\,,$ [/mm] mit Punkten $x,y [mm] \in \IR$?
[/mm]
Dann mach' das analog für eine Strecke auf einer Geraden (meinetwegen
anschaulich erstmal für eine Gerade des [mm] $\IR^2$). [/mm] Und dann überleg' mal,
wie ich wohl drauf gekommen bin...
> > [mm](-1/-1),\;(1/-1),\;(1/1),\;(-1/1)\,.[/mm]
>
> >
> > Allerdings gehören "die Strecken [mm]\overline{(-1/1),\;(1/1)}[/mm]
> > und
> > [mm]\overline{(1/-1),\;(1/1)}[/mm]" nicht zu dem obenstehenden
> > Quadrat.
> >
> > Ich würde Dir mal empfehlen, meine Behauptung zu beweisen.
> > So schwer
> > ist das nicht, man sollte etwa bedenken
> > [mm]\overline{(-1/1),\;(1/1)}=\{x=(x_1/x_2) \in \IR^2:\;-1 \le x_1 \le 1 \text{ und }x_2=1\}=\{x=(x_1/1) \in \IR^2:\;-1 \le x_1 \le 1 \}\,.[/mm]
>
> >
> > P.S.
> > Ob Du das dann verstanden hast, werden wir am besten
> > sehen, wenn
> > Du mal eine Skizze angefertigt hast - sofern Du sie
> > hochladen kannst.
> > Oder mach' schnell eine etwa mit Paint...
>
> http://s1.directupload.net/file/d/3013/5floeug6_jpg.htm#
Das ist doch eine schöne Skizze.
> Habe es hochgeladen, denoch komme ich nicht ganz mit was
> ich beweißen solle
>
> Oder wolltest du einfach nur die Längen ausgerechnet
> haben, sprich
>
> [-1,-1]; ]1,-1]; [-1,1[; ]1,1[. Somit hätte ich die
> Gleichen Eckpunkte wie du.
Ne, pass' auf, es ist ganz einfach:
Offenbar gilt doch per Definitionem
$$[-1,1[ [mm] \times [-1,1[=\{(x,y) \in \IR^2: -1 \le \;x,y\; < 1\}$$
[/mm]
(die Schreibweise $a [mm] \le [/mm] r,s < b$ ist nur eine Kurznotation für die
"beiden" UngleichungsKETTEN $a [mm] \le [/mm] r < b$ UND $a [mm] \le [/mm] s < [mm] b\,.$
[/mm]
Entsprechende Notationen sind dann analog zu verstehen!)
Damit ist doch schonmal klar, dass
[mm] $$\big([-1,1[ \times [-1,1[\big) \;\subseteq \big([-1,1] \times [-1,1]\big)$$ [/mm]
gilt - ja? Letztstehendes ist das oben angesprochene
abgeschlossene Quadrat.
Was Du nun eigentlich zeigen sollst, ist:
Es gilt $[-1,1[ [mm] \times [/mm] [-1,1[ = ([-1,1] [mm] \times [/mm] [-1,1]) [mm] \setminus \left(\overline{\;(-1/1),\;(1/1)}\;\; \cup \;\;\overline{(1/-1),\;(1/1)\;}\;\;\right)\,.$
[/mm]
Dabei bezeichne ich mit [mm] $\overline{X,\;Y}$ [/mm] für $X,Y [mm] \in\IR^2$ [/mm] die Strecke
zwischen (jeweils einschließlich) [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $Y\,,$
[/mm]
> >
> > P.P.S.
> > Ist Dir klar, dass etwa
> > [mm][a,b] \times [c,d]=\{(x,y) \in \IR^2: a \le x \le b \text{ und }c \le y \le d\}[/mm]
>
> >
> > nur ein abgeschlossenes (kompaktes) Rechteck des [mm]\IR^2[/mm] ist?
> > Also
> > jedenfalls im euklidischen Anschauungsraum. Mach' Dir
> > einfach mal
> > die Eckpunkte dieses Rechtecks klar (Skizze! Etwa "linker
> > untere Punkt
> > hat Koordinaten [mm](a/c)\,,[/mm]...")
>
> die anderen Koordianten wäre doch, (b,c) ; (a,d) ; [mm] $\textbf{\red{(c,d)}}$
[/mm]
Denk mal ' über den roten Punkt nach... Ich hätte auch besser geschrieben,
dass man die Koordinaten in den folgenden Punkten ablesen kann - das
war sprachlich falsch von mir formuliert - denn Punkte enthalten ja
Koordinaten. Ich korrigiere das mal gleich noch!
> Und es ist deswegen abgeschlossen, weil die Vereinigung von
> Abgeschlossen Teilmengen, wieder abgeschlossen sind
Das ist i.a. Unsinn: ENDLICHE Vereinigungen abgeschlossener Mengen sind
abgeschlossen, beliebige sind das nicht,
[mm] $$(-1,\,1)=\bigcup_{n \in \IN} [-1+a_n,\;1-b_n]\,,$$
[/mm]
wenn man $0 < [mm] a_n,\,b_n \le [/mm] 1$ und [mm] $a_n, b_n \to [/mm] 0$ hat - speziell
kannst Du etwa mal [mm] $a_n:=b_n:=1/n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] betrachten!
Ich hatte übrigens hier etwa extra [mm] $(a/b)\,$ [/mm] für $(a/b) [mm] \in \IR^2$ [/mm]
geschrieben, weil ich der Verwirrung entgegenstehen wollte, dass Du
bei [mm] $(a,b)\,$ [/mm] erst überlegen musst, ob das $=]a,b[ [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ist
oder ob das nun den Punkt $(a/b) [mm] \in \IR^2$ [/mm] meint. Klar, es ergibt sich
aus dem Zusammenhang, aber ich weiß noch, dass mich das im ersten
Semester manchmal verwirrt hatte, und ich mir manchmal dachte: "Was
ist denn dass für eine blöde Aufgabenstellung..."
Was Du machen kannst, ist zu zeigen, dass Du [mm] $\IR^2 \setminus [/mm] ([a,b] [mm] \times [c,d])\,,$ [/mm] also
$([a,b] [mm] \times [c,d])^C\,,$ [/mm] als eine (unendliche)
Vereinigung offener Mengen darstellen kannst. (Der Vollständigkeit
wegen sollte ich hier auch mal ergänzen, dass $a [mm] \le [/mm] b$ und $c [mm] \le [/mm] d$ sein
sollen!)
Denn BELIEBIGE Vereinigungen OFFENER Mengen sind offen - und eine
Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Alternativ - und das ist eigentlich (hier) einfacher, denke ich -
(Charakterisierung der Abgeschlossenheit in metrischen Räumen!):
Nimm' IRGENDEINE Folge aus $[a,b] [mm] \times [/mm] [c,d]$ her, die in [mm] $\IR^2$ [/mm]
konvergiert und zeige, dass ihr Grenzwert dann zwangsläufig wieder in $[a,b] [mm] \times [/mm] [c,d]$ liegen
muss.
(Bemerkung: IRGENDEINE Folge in $[a,b] [mm] \times [/mm] [c,d]$ hernehmen
bedeutet nicht, dass Du eine spezielle daraus wählen sollst. Sondern nur,
dass die Folge erfüllt, dass alle ihre Folgenglieder in $[a,b] [mm] \times [/mm] [c,d]$
liegen - und man nur diese Eigenschaft benutzt - neben eventuell anderen
Eigenschaften, die man in der Voraussetzung an eine solche Folge stellt.)
Gruß,
Marcel
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Danke dir für deine Bemühungen ;)
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