Radizieren von komplexen Zahle < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich möchte nur wissen, ob ich mit meiner Rechnung richtig liege.
Sei [mm]z^4 = -81[/mm] , woraus folgt [mm]z = \wurzel[4]{-81}[/mm] .
[mm]\varphi = arctan \bruch{0}{-81} = arctan 0 = 0[/mm] und [mm]|z| = r = 81[/mm].
[mm]w_1 = \wurzel[4]{|-81|} ( cos 0 + i sin 0 )[/mm]
[mm]w_2 = \wurzel[4]{|-81|} ( cos \bruch{\pi}{2} + i sin \bruch{\pi}{2} )[/mm]
[mm]w_3 = \wurzel[4]{|-81|} ( cos \pi + i sin \pi )[/mm]
[mm]w_4 = \wurzel[4]{|-81|} ( cos \bruch{3}{2}\pi + i sin \bruch{3}{2}\pi )[/mm]
Demnach ist
[mm]w_{1,2} = \pm 3[/mm]
[mm]w_{3,4} = \pm 3i[/mm]
Kann das stimmen? Danke schon einmal.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mo 04.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo DrR
Leider falsch.
[mm] \wurzel[4]{-81}=3*\wurzel[4]{-1}
[/mm]
Und durch die Probe siehst du leicht, dass [mm] 1^{4} \ne [/mm] -1 und [mm] i^{4} \ne [/mm] -1
So einfache Proben lohnen sich.
Dein Fehler : der Winkel zu neg. reellen Zahlen ist [mm] \pi [/mm] nicht 0! [mm] tan\pi=0! [/mm] dann musst du vierteln und bekommst [mm] \pi/4, 3\pi/4 [/mm] usw.
Am besten überprüfst du das immer rasch mit ner Zeichnung!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Dein Fehler : der Winkel zu neg. reellen Zahlen ist [mm]\pi[/mm]
> nicht 0! [mm]tan\pi=0![/mm] dann musst du vierteln und bekommst
> [mm]\pi/4, 3\pi/4[/mm] usw.
Sorry, aber ich krieg das nicht gebacken. Sobald b = 0 versteh ich das mit dem Bogenmaß und dem Subtrahieren nicht mehr.
[mm]cos \varphi = \bruch{a}{r} = \bruch{-81}{81} = -1[/mm] und [mm]sin \varphi = \bruch{b}{r} = \bruch{0}{81} = 0[/mm]. Wegen [mm]arccos (-1) = 180[/mm] und [mm]arcsin 0 = 0[/mm] müsste das Ganze im 2. Quadranten liegen (!?). Nur wie komme ich da auf [mm]\varphi[/mm]? Kann mir das mal jemand erklären, als wäre ich sechs Jahre alt?
// Edit:
Wenn ich das richtig verstehe, muss ich wegen [mm]tan \varphi = \bruch{0}{-81}[/mm] und damit [mm]arctan 0 = 0[/mm] von [mm]\pi[/mm] die Null "abziehen" und nicht von [mm]2\pi[/mm]? Woraus folgt, dass [mm]\varphi = \pi[/mm] ?
// Edit 2:
[mm]w_1 = 3 (cos \bruch{1}{4}\pi + i sin \bruch{1}{4}\pi)[/mm]
[mm]w_2 = 3 (cos \bruch{3}{4}\pi + i sin \bruch{3}{4}\pi)[/mm]
[mm]w_3 = 3 (cos \bruch{5}{4}\pi + i sin \bruch{5}{4}\pi)[/mm]
[mm]w_4 = 3 (cos \bruch{7}{4}\pi + i sin \bruch{7}{4}\pi)[/mm]
Sofern das stimmen sollte, habe ich es glaube kapiert. :-/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Di 05.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo DrR
> Sorry, aber ich krieg das nicht gebacken. Sobald b = 0
> versteh ich das mit dem Bogenmaß und dem Subtrahieren nicht
> mehr.
Ich weiss nicht, was Bogenmaß mit subtrahieren zu tun hat.
Festgelegt.1. [mm] \ph=0 [/mm] auf der pos x- Achse. 2. positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn gerechnet, d.h. pos y-Achse [mm] \pi/2 [/mm] oder 90°
> [mm]cos \varphi = \bruch{a}{r} = \bruch{-81}{81} = -1[/mm] und [mm]sin \varphi = \bruch{b}{r} = \bruch{0}{81} = 0[/mm].
> Wegen [mm]arccos (-1) = 180[/mm] und [mm]arcsin 0 = 0[/mm] müsste das Ganze
> im 2. Quadranten liegen (!?). Nur wie komme ich da auf
> [mm]\varphi[/mm]? Kann mir das mal jemand erklären, als wäre ich
> sechs Jahre alt?
Ist deine Schwierigkeit das Bogenmaß? Bogenmaß ist die Maßzahl der Bogenlänge auf dem Einheitskreis, der zu einem Winkel gehört. das ist eigentlich nicht schwieriger, als das Winkelmaß, wo man "willkürlich" bzw. historisch den geraden Winkel als 180° deklariert. Also 180° oder -180°, [mm] \pi [/mm] oder [mm] -\pi. [/mm] mit cos und sin ist das bei b=0 eindeutig im gegensatz zu tan.
Im Übrigen find ich es sehr nützlich, sich komplexe Zahlen direkt in der kompl. Ebene vorzustellen oder einzuzeichnen, dann kann man Winkel auch leicht teilen, beim Multipliziern addieren usw. und hat damit ne einfache Kontrolle zu dem was man tut.
> // Edit:
>
> Wenn ich das richtig verstehe, muss ich wegen [mm]tan \varphi = \bruch{0}{-81}[/mm]
> und damit [mm]arctan 0 = 0[/mm] von [mm]\pi[/mm] die Null "abziehen" und
> nicht von [mm]2\pi[/mm]? Woraus folgt, dass [mm]\varphi = \pi[/mm] ?
siehe
Das mit dem 0 Abziehen versteh ich nicht!
> // Edit 2:
>
> [mm]w_1 = 3 (cos \bruch{1}{4}\pi + i sin \bruch{1}{4}\pi)[/mm]
>
> [mm]w_2 = 3 (cos \bruch{3}{4}\pi + i sin \bruch{3}{4}\pi)[/mm]
>
> [mm]w_3 = 3 (cos \bruch{5}{4}\pi + i sin \bruch{5}{4}\pi)[/mm]
>
> [mm]w_4 = 3 (cos \bruch{7}{4}\pi + i sin \bruch{7}{4}\pi)[/mm]
>
> Sofern das stimmen sollte, habe ich es glaube kapiert. :-/
Ja, alles richtig. Übrigens auch 45° statt [mm] \pi/4 [/mm] ist legal!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Di 05.09.2006 | | Autor: | DrRobotnik |
Hallo,
> Im Übrigen find ich es sehr nützlich, sich komplexe Zahlen
> direkt in der kompl. Ebene vorzustellen oder einzuzeichnen,
> dann kann man Winkel auch leicht teilen, beim Multipliziern
> addieren usw. und hat damit ne einfache Kontrolle zu dem
> was man tut.
Ich hatte immer versucht, mich davor zu drücken, aber es ist wirklich übersichtlicher, wie ich verstellen musste.
> Das mit dem 0 Abziehen versteh ich nicht!
Das war auch irgendwie Quark. Ich hab im Netz noch eine kleine Zusammenfassung gefunden, an Hand derer ich die Sache jetzt halbwegs verstehe.
> Ja, alles richtig. Übrigens auch 90° statt [mm]\pi/4[/mm] ist
> legal!
Sind [mm]\bruch{1}{4}\pi[/mm] nicht 45°?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Di 05.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo DrR
Ich hatte mich verschrieben. Natürlich 45° und [mm] \pi/4. [/mm] Ich habs in der Antwort berichtigt
Gruss leduart
|
|
|
|
