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ROW-Verfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:37 Do 15.01.2009
Autor: MarkusT

Aufgabe
Betrachtet wird ein ROW-Verfahren für autonome Differentialgleichungen,

(I - [mm] \gamma_{j,j} [/mm] h J) [mm] k_j [/mm] = [mm] f(y_i [/mm] + h [mm] \summe_{\nu = 1}^{j-1} \alpha_{j,\nu} k_{\nu}) [/mm] + h J [mm] \summe_{\nu = 1}^{j-1} \gamma_{j,\nu} k_{\nu} [/mm]

(j = 1, ..., s)

[mm] y_{i+1} [/mm] = [mm] y_i [/mm] + [mm] h\summe_{j=1}^{s} b_j k_j [/mm]

mit der Jacobi-Matrix J = [mm] f_y(y_i) [/mm] und Konstanten [mm] \alpha_{j,\nu}, \gamma_{j,\nu} \el \IR [/mm] und [mm] \gamma_{j,j} \not= [/mm] 0 für alle j = 1, ..., s

(a) Zeigen Sie, dass das Verfahren für
[mm] b^t [/mm] e = 1 und [mm] b^T (\alpha [/mm] + [mm] \Gamma) [/mm] e = [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
die Ordnung 2 besitzt. Welche Ordnung liegt in diesem Fall vor, wenn nur eine inexakte Jacobi-Matrix J = fy(yi) + O(h) verwendet wird?

(b) Sei (A, b, c) ein Runge-Kutta-Verfahren mit linker unterer Dreiecksmatrix A mit det A [mm] \not=0. [/mm] Zeigen Sie, dass ein zugehöriges ROW-Verfahren mit
[mm] \alpha [/mm] = A - [mm] \Gamma, [/mm]
[mm] \gamma_{j,j} [/mm] = [mm] a_{j,j} [/mm] und beliebigen [mm] \gamma_{j,\nu} [/mm] die gleiche Stabilitätsfunktion R(z) = 1 + z [mm] b^T [/mm] (I - z A [mm] )^{-1} [/mm] e besitzt, wie das RKV.

Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe gar nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich? Vielen Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
ROW-Verfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mo 19.01.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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