Quotiententopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Do 05.01.2012 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | [mm] $PSL_2 (\IR):=\{z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}|ad-bc=1\}$, [/mm] weiter definiert [mm] $||A||=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$ [/mm] für [mm] $A=\pmat{ a & b \\ c & d }\in SL_2 (\IR)$ [/mm] die Metrik $d(A,B)=||A-B||$ auf [mm] $SL_2 (\IR)$. [/mm] Weiter ist [mm] $A\sim [/mm] -A$ Äquivalenzrelation auf [mm] $SL_2 (\IR)$, [/mm] also trägt der Quotientenraum [mm] $PSL_2 (\IR)=SL_2 (\IR)/\sim$ [/mm] die Quotiententopologie.
Zeige nun, dass Gruppenmultiplikation und Inverses bilden stetige Abbildungen bezüglich dieser Topologie auf [mm] $PSL_2 (\IR)$ [/mm] sind. |
Das ganze ist eine Übung im Buch 'Fuchsian Groups' von S.Katok. Da diese Übung recht wichtig für meinen Seminarsvortrag ist wäre ich über alle tipps und hinweise dankbar, angefangen damit was überhaupt zu zeigen ... bin leider nicht gerade fit in topologie ;(
lg clee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Do 05.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo clee!
> [mm]PSL_2 (\IR):=\{z\mapsto \frac{az+b}{cz+d}|ad-bc=1\}[/mm], weiter
> definiert [mm]||A||=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}[/mm] für [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d }\in SL_2 (\IR)[/mm]
> die Metrik [mm]d(A,B)=||A-B||[/mm] auf [mm]SL_2 (\IR)[/mm]. Weiter ist [mm]A\sim -A[/mm]
> Äquivalenzrelation auf [mm]SL_2 (\IR)[/mm], also trägt der
> Quotientenraum [mm]PSL_2 (\IR)=SL_2 (\IR)/\sim[/mm] die
> Quotiententopologie.
>
> Zeige nun, dass Gruppenmultiplikation und Inverses bilden
> stetige Abbildungen bezüglich dieser Topologie auf [mm]PSL_2 (\IR)[/mm]
> sind.
> Das ganze ist eine Übung im Buch 'Fuchsian Groups' von
> S.Katok. Da diese Übung recht wichtig für meinen
> Seminarsvortrag ist wäre ich über alle tipps und hinweise
> dankbar, angefangen damit was überhaupt zu zeigen ... bin
> leider nicht gerade fit in topologie ;(
Du musst nur die topologische Definition der Stetigkeit benutzen und konsequent die Definitionen anwenden.
Eine Abbildung f zwischen topologischen Räumen ist stetig, wenn das Urbild [mm] $f^{-1}(U)$ [/mm] einer offenen Menge U offen ist.
Beginne mit der Projektion auf den Quotientenraum: es gibt eine Projektion
[mm] \pi:SL_2 (\IR) \to PSL_2 (\IR) [/mm]
mit der Eigenschaft [mm] $\pi(A)=\pi(B) \gdw A\sim [/mm] B$ .
Die Quotiententopologie ist definiert durch:
[mm] V \subset PSL_2 (\IR) [/mm] ist genau dann offen, wenn [mm] U=\pi^{-1}(V) \subset SL_2 (\IR) [/mm] offen ist.
Sei f die Abbildung, die jedem [mm] $A\in SL_2 (\IR) [/mm] $ das Inverse zuordnet:
[mm] f: SL_2 (\IR) \to SL_2 (\IR) [/mm] mit $ [mm] f(A)=A^{-1} [/mm] $ .
Warum ist diese Abbildung stetig?
Für [mm] $A\sim [/mm] B$ folgt, dass $f(A) [mm] \sim [/mm] f(B) $. Daher gibt es eine Abbildung
[mm] g: PSL_2 (\IR) \to PSL_2 (\IR) [/mm] mit $ [mm] g\circ \pi [/mm] = [mm] \pi \circ [/mm] f $ .
So, nun hast du alles, was du brauchst. Nimm an, [mm] $V\subset PSL_2 (\IR) [/mm] $ sei offen, das heisst, [mm] $U=\pi^{-1}(V) \subset SL_2 (\IR) [/mm] $ ist offen. Zeige, dass [mm] $g^{-1}(V)$ [/mm] offen ist!
Viele Grüße
Rainer
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