Quotientenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mi 07.01.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | 1. y = [mm] \bruch{x²}{\wurzel{x}}
[/mm]
wie kommt man da auf: y' = [mm] \bruch{3*\wurzel{x}}{2} [/mm] |
ich komme auf: 2x*x ^1/2 - x²*1/2*x^-1/2 für den Zähler
und für den Nenner: x ^1/2² = x ^2/2 = [mm] x^1??
[/mm]
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo freak!
Fasse nun in Zähler und Nenner jeweils gemäß den  Potenzgesetzen zusammen.
Oder Du formst den Funktionsterm schon vor dem Ableituen um:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2}{\wurzel{x}} [/mm] \ = \ [mm] x^2*x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] x^{2+\left(-\bruch{1}{2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{3}{2}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Fr 27.03.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | noch eine Frage zum Thema;
wie weiß man wann man die Quotientenregel verwenden muss und wann ich einfach schreiben kann Zähler *Nenner ^-1 --> dann ganz normal ableiten und die ^-1 wieder in den Zähler damits wieder positiv ist. |
danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Regeln sind die selben:
Wenn man zB einen Bruch hat [mm] $\frac{u}{v}$, [/mm] dann gilt ja, wenn man den Ableitet
[mm] $\frac{u'v-v'u}{v^2}$
[/mm]
Wenn man sich das jetzt aber so hinschreibt: [mm] $\frac{u}{v}=uv^{-1}$, [/mm] und die Produktregel beim Ableiten anwendet, steht da:
[mm] $u'v^{-1}+\left(v^{-1}\right)'u$
[/mm]
Jetzt müssen wir uns noch um das [mm] $\left(v^{-1}\right)'$ [/mm] kümmern:
Erst einmal die äußere Ableitung ist [mm] $-1\cdot v^{-2}$, [/mm] die innere Ableitung ist einfach $v'$, also gilt mit der Produktregel von oben:
[mm] $u'v^{-1}+\left(-1\cdot v^{-2}\right)v'u=\frac{u'}{v}-\frac{v'u}{v^2}$
[/mm]
Wenn man den linken Bruch jetzt ncoh mit v erweitert, steht da:
[mm] $\frac{u'v}{v^2}-\frac{v'u}{v^2}=\frac{u'v-v'u}{v^2}$ [/mm] und man hat die Quotientenregel da stehen.
Du siehst also, dass es völlig egal ist, ob du jetzt die Quotientenregel anwendest, oder deinen Bruch erst "künstlich" mit [mm] $v^{-1}$ [/mm] umformst, um dann die Produktregel inkl. Kettenregel anwenden magst.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 27.03.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | noch eine Frage:
Um Produktregel bzw. Quotientenregel anzuwenden, brauch ich da in jedem Faktor eine Variable oder?
also: PR: 2x²*5x³ --> hier brauche ich die Produktregel
wenn steht: 2x² * 54 --> kann ich das normal ableiten?
genauso bei der QR: [mm] \bruch{3x}{4} [/mm] --> brauch ich hier die Quotientenregel?
|
Danke!
|
|
|
| |
|
Hallo freak900,
> noch eine Frage:
>
> Um Produktregel bzw. Quotientenregel anzuwenden, brauch ich
> da in jedem Faktor eine Variable oder?
>
> also: PR: 2x²*5x³ --> hier brauche ich die Produktregel
> wenn steht: 2x² * 54 --> kann ich das normal ableiten?
Was heißt normal? die 54 bzw. [mm] $2\cdot{}54$ [/mm] ist hier multiplikative Konstante, das kannst du schreiben als [mm] $=108\cdot{}x^2$ [/mm] und "normal" ableiten 
In dem anderen Bsp. geht das nicht, da brauchst du explizit die Produktregel, weil beide Faktoren keine(!!) Konstanten sind
>
> genauso bei der QR: [mm]\bruch{3x}{4}[/mm] --> brauch ich hier die
> Quotientenregel?
Nein, du kannst sie natürlich nehmen, aber musst nicht, der Nenner, also [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] ist hier multiplikative Konstante
[mm] $f(x)=\frac{3x}{4}=\frac{1}{4}\cdot{}3x$ [/mm] bzw. sogar [mm] $=\frac{3}{4}\cdot{}x$ [/mm] mit [mm] $\frac{3}{4}$ [/mm] als multiplikativer Konstante und dann wie in deinem Fall oben
>
> Danke!
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Sa 28.03.2009 | | Autor: | freak900 |
> > also: PR: 2x²*5x³ --> hier brauche ich die Produktregel
> > wenn steht: 2x² * 54 --> kann ich das normal
> ableiten?
>
> Was heißt normal? die 54 bzw. [mm]2\cdot{}54[/mm] ist hier
> multiplikative Konstante, das kannst du schreiben als
> [mm]=108\cdot{}x^2[/mm] und "normal" ableiten
>
> In dem anderen Bsp. geht das nicht, da brauchst du explizit
> die Produktregel, weil beide Faktoren keine(!!) Konstanten
> sind
Unter Normal verstehe ich die Potenzregel
(Die Potenzregel ist die ganz normale Ableitungsregel, bei der der Exponent erst vorne dran multipliziert wird, und danach um 1 reduziert wird)
Also, die Produktregel braucht wenn in beiden Faktoren eine Variable steht? Sonst wird mit der Potenzregel abgeleitet?
also hier: 2x²*5x³ beide sind keine Konstanten, brauch ich also die Produktregel?
und bei: 2x² * 54 die zweite Zahl ist eine Konstante, kann ich jetzt mit der Potenzregel ableiten?
> >
> > genauso bei der QR: [mm]\bruch{3x}{4}[/mm] --> brauch ich hier die
> > Quotientenregel?
>
> Nein, du kannst sie natürlich nehmen, aber musst nicht, der
> Nenner, also [mm]\frac{1}{4}[/mm] ist hier multiplikative Konstante
>
> [mm]f(x)=\frac{3x}{4}=\frac{1}{4}\cdot{}3x[/mm] bzw. sogar
> [mm]=\frac{3}{4}\cdot{}x[/mm] mit [mm]\frac{3}{4}[/mm] als multiplikativer
> Konstante und dann wie in deinem Fall oben
>
Brauch ich die Quotientenregel wenn im Zähler und Nenner eine Variable steht? $ [mm] \bruch{3x}{4} [/mm] $ Hier brauch ich also keine Quotientenregel:
also wie soll ich es dann rechnen?
Kann ich das so rechnen wie in diesem Beispiel:
$ [mm] \bruch{2}{r} [/mm] $
$ [mm] 2\cdot{}r^{-1} [/mm] $ und mit der Potenzregel:
also: $ [mm] \bruch{-2}{r²} [/mm] $
Herzlichen DANK!
|
|
|
| |
|
Hallo freak900,
> > > also: PR: 2x²*5x³ --> hier brauche ich die Produktregel
> > > wenn steht: 2x² * 54 --> kann ich das normal
> > ableiten?
> >
> > Was heißt normal? die 54 bzw. [mm]2\cdot{}54[/mm] ist hier
> > multiplikative Konstante, das kannst du schreiben als
> > [mm]=108\cdot{}x^2[/mm] und "normal" ableiten
> >
> > In dem anderen Bsp. geht das nicht, da brauchst du explizit
> > die Produktregel, weil beide Faktoren keine(!!) Konstanten
> > sind
>
>
> Unter Normal verstehe ich die Potenzregel
> (Die Potenzregel ist die ganz normale Ableitungsregel, bei
> der der Exponent erst vorne dran multipliziert wird, und
> danach um 1 reduziert wird)
>
> Also, die Produktregel braucht wenn in beiden Faktoren eine
> Variable steht? Sonst wird mit der Potenzregel abgeleitet?
Ja.
>
> also hier: 2x²*5x³ beide sind keine Konstanten, brauch
> ich also die Produktregel?
Ja.
>
> und bei: 2x² * 54 die zweite Zahl ist eine Konstante,
> kann ich jetzt mit der Potenzregel ableiten?
>
So isses.
>
> > >
> > > genauso bei der QR: [mm]\bruch{3x}{4}[/mm] --> brauch ich hier die
> > > Quotientenregel?
> >
> > Nein, du kannst sie natürlich nehmen, aber musst nicht, der
> > Nenner, also [mm]\frac{1}{4}[/mm] ist hier multiplikative Konstante
> >
> > [mm]f(x)=\frac{3x}{4}=\frac{1}{4}\cdot{}3x[/mm] bzw. sogar
> > [mm]=\frac{3}{4}\cdot{}x[/mm] mit [mm]\frac{3}{4}[/mm] als multiplikativer
> > Konstante und dann wie in deinem Fall oben
> >
>
> Brauch ich die Quotientenregel wenn im Zähler und Nenner
> eine Variable steht? [mm]\bruch{3x}{4}[/mm] Hier brauch ich also
> keine Quotientenregel:
> also wie soll ich es dann rechnen?
>
> Kann ich das so rechnen wie in diesem Beispiel:
> [mm]\bruch{2}{r}[/mm]
> [mm]2\cdot{}r^{-1}[/mm] und mit der Potenzregel:
>
> also: [mm]\bruch{-2}{r²}[/mm]
>
>
Genau so kannst Du das rechnen.
>
> Herzlichen DANK!
>
>
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
> > also hier: 2x²*5x³ beide sind keine Konstanten, brauch
> > ich also die Produktregel?
>
> Ja.
NEIN, natürlich nicht. Denn [mm] 2x^2*5x^3 [/mm] ist gleich [mm] 10x^5,
[/mm]
und dies kann man mit der Potenzregel und mit der Regel
für einen konstanten Faktor ableiten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Blech |
> noch eine Frage:
>
> Um Produktregel bzw. Quotientenregel anzuwenden, brauch ich
> da in jedem Faktor eine Variable oder?
>
> also: PR: 2x²*5x³ --> hier brauche ich die Produktregel
> wenn steht: 2x² * 54 --> kann ich das normal ableiten?
Teil den Ausdruck so auf, als würdest Du die Regel anwenden, und schau was rauskommt.
(ab)'=a'b+b'a
Bei [mm] $2x^2*54$ [/mm] wäre, so wie Du's geschrieben hast [mm] $a=2x^2$ [/mm] und b=54. Man sieht sofort b'=0, weil b nur eine Zahl ist, daraus ergibt sich:
(ab)'=a'b+b'a = a'b+ 0*a = a'b
das ist konsistent mit der Feststellung, daß b eine multiplikative Konstante ist, d.h. man braucht keine Produktregel.
>
> genauso bei der QR: [mm]\bruch{3x}{4}[/mm] --> brauch ich hier die
> Quotientenregel?
>
[mm] $\left(\frac{a}{b}\right)'=\frac{a'b-b'a}{b^2}$
[/mm]
b=4 [mm] $\Rightarrow$ [/mm] b'=0, damit wird aus der Quotientenregel:
[mm] $\left(\frac{a}{b}\right)'=\frac{a'b-b'a}{b^2}= \frac{a'b-0*a}{b^2} =\frac{a'b}{b^2}=\frac{a'}{b}$
[/mm]
wiederum: b (bzw. [mm] $\frac{1}{b}$) [/mm] ist eine multiplikative Konstante, also braucht man die Quotientenregel nicht.
Mit dem Anwenden der Ableitungsregeln kannst Du nix falsch machen, Du kannst Dir nur das Leben erschweren. (und dabei Rechenfehler produzieren =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 28.03.2009 | | Autor: | freak900 |
> > noch eine Frage:
> >
> > Um Produktregel bzw. Quotientenregel anzuwenden, brauch ich
> > da in jedem Faktor eine Variable oder?
> >
> > also: PR: 2x²*5x³ --> hier brauche ich die Produktregel
> > wenn steht: 2x² * 54 --> kann ich das normal
> ableiten?
>
> Teil den Ausdruck so auf, als würdest Du die Regel
> anwenden, und schau was rauskommt.
>
> (ab)'=a'b+b'a
>
> Bei [mm]2x^2*54[/mm] wäre, so wie Du's geschrieben hast [mm]a=2x^2[/mm] und
> b=54. Man sieht sofort b'=0, weil b nur eine Zahl ist,
> daraus ergibt sich:
>
> (ab)'=a'b+b'a = a'b+ 0*a = a'b
>
> das ist konsistent mit der Feststellung, daß b eine
> multiplikative Konstante ist, d.h. man braucht keine
> Produktregel.
>
>
wäre das beim 2ten Beispiel:
2x² * 54; y' =4x*54
> >
> > genauso bei der QR: [mm]\bruch{3x}{4}[/mm] --> brauch ich hier die
> > Quotientenregel?
> >
>
> [mm]\left(\frac{a}{b}\right)'=\frac{a'b-b'a}{b^2}[/mm]
>
> b=4 [mm]\Rightarrow[/mm] b'=0, damit wird aus der Quotientenregel:
>
> [mm]\left(\frac{a}{b}\right)'=\frac{a'b-b'a}{b^2}= \frac{a'b-0*a}{b^2} =\frac{a'b}{b^2}=\frac{a'}{b}[/mm]
>
> wiederum: b (bzw. [mm]\frac{1}{b}[/mm]) ist eine multiplikative
> Konstante, also braucht man die Quotientenregel nicht.
>
>
> Mit dem Anwenden der Ableitungsregeln kannst Du nix falsch
> machen, Du kannst Dir nur das Leben erschweren. (und dabei
> Rechenfehler produzieren =)
>
>
also: [mm] \bruch{3x}{4} [/mm] kann mir jemand zeigen wie man das jetzt am besten rechnen soll?
DANKE!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > > noch eine Frage:
> > >
> > > Um Produktregel bzw. Quotientenregel anzuwenden, brauch ich
> > > da in jedem Faktor eine Variable oder?
> > >
> > > also: PR: 2x²*5x³ --> hier brauche ich die Produktregel
> > > wenn steht: 2x² * 54 --> kann ich das normal
> > ableiten?
> >
> > Teil den Ausdruck so auf, als würdest Du die Regel
> > anwenden, und schau was rauskommt.
> >
> > (ab)'=a'b+b'a
> >
> > Bei [mm]2x^2*54[/mm] wäre, so wie Du's geschrieben hast [mm]a=2x^2[/mm] und
> > b=54. Man sieht sofort b'=0, weil b nur eine Zahl ist,
> > daraus ergibt sich:
> >
> > (ab)'=a'b+b'a = a'b+ 0*a = a'b
> >
> > das ist konsistent mit der Feststellung, daß b eine
> > multiplikative Konstante ist, d.h. man braucht keine
> > Produktregel.
> >
> >
>
> wäre das beim 2ten Beispiel:
> 2x² * 54; y' =4x*54 ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
$=216x$
>
>
>
> > >
> > > genauso bei der QR: [mm]\bruch{3x}{4}[/mm] --> brauch ich hier die
> > > Quotientenregel?
> > >
> >
> > [mm]\left(\frac{a}{b}\right)'=\frac{a'b-b'a}{b^2}[/mm]
> >
> > b=4 [mm]\Rightarrow[/mm] b'=0, damit wird aus der Quotientenregel:
> >
> > [mm]\left(\frac{a}{b}\right)'=\frac{a'b-b'a}{b^2}= \frac{a'b-0*a}{b^2} =\frac{a'b}{b^2}=\frac{a'}{b}[/mm]
>
> >
> > wiederum: b (bzw. [mm]\frac{1}{b}[/mm]) ist eine multiplikative
> > Konstante, also braucht man die Quotientenregel nicht.
> >
> >
> > Mit dem Anwenden der Ableitungsregeln kannst Du nix falsch
> > machen, Du kannst Dir nur das Leben erschweren. (und dabei
> > Rechenfehler produzieren =)
> >
> >
>
>
> also: [mm]\bruch{3x}{4}[/mm] kann mir jemand zeigen wie man das
> jetzt am besten rechnen soll?
Wie bereits gesagt, schreibe es als [mm] $y=\frac{3x}{4}=\frac{3}{4}\cdot{}x=\frac{3}{4}\cdot{}x^1$
[/mm]
Dann [mm] $y'=\frac{3}{4}\cdot{}x^{1-1}=\frac{3}{4}x^0=\frac{3}{4}\cdot{}1=\frac{3}{4}$
[/mm]
>
>
> DANKE!
>
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:56 Sa 28.03.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | OK, darf ich das noch mal alles zusammenfassen:
1. Produktregel wenn in beiden Faktoren eine Variable steht.
2. Quotientenregel wenn in Zähler und Nenner eine Variable steht.
3. [mm] \bruch{Konstante Zahl, z.B.: 10}{Variable, z.B.: x} [/mm] wird immer zu [mm] \bruch{-Konstante Zahl}{Variable²}
[/mm]
4. [mm] \bruch{3x}{4} [/mm] wird zu $ [mm] y=\frac{3x}{4}=\frac{3}{4}\cdot{}x=\frac{3}{4}\cdot{}x^1 [/mm] $ und daher zu [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
5. was wenn im Nenner eine Variable steht, im Zähler aber nicht:
[mm] \bruch{2}{r²}
[/mm]
wie geht man da am besten vor?
Hoffentlich habe ich jetzt alle Möglichkeiten. |
DANKE!
|
|
|
| |
|
Solange du es nur mit Ausdrücken der Form [mm] A*x^m [/mm] und [mm] B*x^n
[/mm]
(mit einer Variablen x, mit konstanten Faktoren A und B und
konstanten Exponenten m und n und Produkten und/oder Quotienten
solcher Ausdrücke zu tun hast, ist es am besten, zuerst,
also vor dem Ableiten, zusammenzufassen und zu vereinfachen.
Dann brauchst du weder Produkt- noch Quotientenregel.
Dein Beispiel: [mm] \bruch{2}{r²}=2*r^{-2}
[/mm]
Ableitung nach r: [mm] 2*\left[(-\,2)*r^{-2-1}\right]=2*(-\,2)*r^{-3}=(-\,4)*\bruch{1}{r^3}=-\,\bruch{4}{r^3}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 29.03.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | wieso ändert sich hier gar nichts im Nenner?
[mm] \bruch{162h-2h³}{3}
[/mm]
wird zu [mm] \bruch{162-6h²}{3}
[/mm]
Kann mir das jemand erklären? |
DANKE
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 29.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo freak!
Wenn Du hier einfach ein wildes Fragement aus einer Aufgabe herausreißt, ist Hilfe nur schwer bis unmöglich zu leisten und artet in Mutmaßungen bzw. Glaskugelschauen aus. Als bitte die vollständige Aufgabenstellung verraten ...
Ich vermute mal, dass hier auch im Nenner ein $h_$ hingehört, welches gekürzt wurde.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Na, es ging ja bloss darum, den Term
$ [mm] \bruch{162h-2h³}{3} [/mm] $
nach h abzuleiten. Und die Regel über konstante Faktoren
$\ (f(x)*C)'\ =\ f'(x)*C$
gilt natürlich ebenso für konstante Divisoren:
[mm] $\left(\bruch{f(x)}{C}\right)'\ [/mm] =\ [mm] \bruch{f'(x)}{C}$
[/mm]
weil die Division durch C dasselbe ist wie die Multiplikation mit [mm] \bruch{1}{C}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
man kann hier den Faktor 1/3 herausziehen:
[mm] \bruch{1}{3}*(162h-2h^3)' [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*(162-6h^2) [/mm] = [mm] \bruch{162-6h^2}{3}
[/mm]
nach Quotientenregel solltest du das gleiche bekommen:
[mm] (\bruch{162h -2h^3}{3})' [/mm] = [mm] \bruch{(162-6h^2) * 3 - (162h - 2h^3)*0}{3^2} [/mm] = [mm] \bruch{162-6h^2}{3}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 31.03.2009 | | Autor: | freak900 |
| Aufgabe | Kann das noch bitte jemand überprüfen:
$ [mm] \bruch{162h}{3} [/mm] $
y'= $ [mm] \bruch{162}{3} [/mm] $
und noch eine Frage:
wenn oben eine Variable steht:
$ [mm] \bruch{x²}{3} [/mm] $
y'= $ [mm] \bruch{2x}{3} [/mm] $
stimmt das so?
|
DANKE!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Kann das noch bitte jemand überprüfen:
>
> [mm]\bruch{162h}{3}[/mm]
> y'= [mm]\bruch{162}{3}[/mm]
>
O.K.
> und noch eine Frage:
>
> wenn oben eine Variable steht:
> [mm]\bruch{x²}{3}[/mm]
> y'= [mm]\bruch{2x}{3}[/mm]
>
O.K.
FRED
> stimmt das so?
>
> DANKE!!!
|
|
|
|
