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Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Fr 25.04.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
f(x) = [mm] \bruch{( \bruch{1}{2}x^2- \bruch{2}{3}x^3)^2}{(4x^2+5x^3-6x^4)^3} [/mm]

Hallo!

Habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe, vielleicht sind es auch Defizite beim Vereinfachen. Verliere oft den Überblick bei derart langen Rechnungen!
Jedenfalls sind meine Ansätze:

f'(x)=[mm] \bruch{(2x-4x^2)*(\bruch{1}{2}x^2- \bruch{2}{3}x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)^3-(24x+45x^2-72x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)^2}{(4x^2+5x^3-6x^4)^6} [/mm]

f'(x)=[mm] \bruch{(2x-4x^2)*(\bruch{1}{2}x^2- \bruch{2}{3}x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)-(24x+45x^2-72x^3)}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4} [/mm]
Stimmt die Rechnung bis hier? Kann ich jetzt einfach ausmultiplizieren?
Könnte mir jemand die Schritte des Lösungswegs aufschreiben?

Danke für die Geduld

Gruß

Angelika
  

        
Bezug
Quotientenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Fr 25.04.2008
Autor: M.Rex

Hallo.

> f(x) = [mm]\bruch{( \bruch{1}{2}x^2- \bruch{2}{3}x^3)^2}{(4x^2+5x^3-6x^4)^3}[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe, vielleicht
> sind es auch Defizite beim Vereinfachen. Verliere oft den
> Überblick bei derart langen Rechnungen!
>  Jedenfalls sind meine Ansätze:
>  
> f'(x)=[mm] \bruch{(2x-4x^2)*(\bruch{1}{2}x^2- \bruch{2}{3}x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)^3-(24x+45x^2-72x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)^2}{(4x^2+5x^3-6x^4)^6}[/mm]
>  
> f'(x)=[mm] \bruch{(2x-4x^2)*(\bruch{1}{2}x^2- \bruch{2}{3}x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)-(24x+45x^2-72x^3)}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4} [/mm]
> Stimmt die Rechnung bis hier?

Bis hier ist alles Korrekt

Kann ich jetzt einfach

> ausmultiplizieren?

Yep, kannst du. Sollst du die zweite Ableitung auch bestimmen? Sonst würde ich das so stehen lassen.
Musst du nochmal ableiten, würde ich den Bruch aufteilen:
[mm] \bruch{(2x-4x^2)*(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{2}{3}x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)-(24x+45x^2-72x^3)}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4} [/mm]
[mm] =\bruch{(2x-4x^2)*(\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{2}{3}x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4}-\bruch{(24x+45x^2-72x^3)}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4} [/mm]

Und die Nenner kannst du jetzt ausmultiplizieren, und dann die Brüche getrennt ableiten.

>  
> Angelika
>    


Marius

Bezug
                
Bezug
Quotientenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Fr 25.04.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo!

Sorry! Ich habe meine Ansätze vorher nicht richtig abgeschrieben. So müsste die Ableitung aussehen:

[mm] f'(x)=\bruch{(2x-4x^2)*(\bruch{1}{2}x^2-\bruch{2}{3}x^3)*(4x^2+5x^3-6x^4)-(24x+45x^2-72x^3)*(\bruch{1}{2}x^2-\bruch{2}{3}x^3)^2}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4} [/mm]



Als Ergebniss sollte ich
[mm] f'(x)=\bruch{(\bruch{1}{2}x^2-\bruch{2}{3}x^3)(-4x^3-12,5x^4+34x^5-24x^6)}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4} [/mm]

erhalten. Eine 2. Ableitung ist nicht zu machen. Wenn das bis hier stimmt, muss ich doch ausmultiplizieren und vereinfachen um irgendwie zum angegebenen Ergebniss zu kommen, oder?

Krieg das einfach nicht auf die Reihe.

Danke für die Geduld

Gruß

Angelika

Bezug
                        
Bezug
Quotientenregel: Ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Fr 25.04.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Du kannst hier ausklammern:

[mm] f'(x)=\bruch{(2x-4x^2)\cdot{}(\bruch{1}{2}x^2-\bruch{2}{3}x^3)\cdot{}(4x^2+5x^3-6x^4)-(24x+45x^2-72x^3)\cdot{}(\bruch{1}{2}x^2-\bruch{2}{3}x^3)^2}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4} [/mm]  
[mm] =\bruch{(\bruch{1}{2}x^2-\bruch{2}{3}x^3)*[(2x-4x^2)(4x^2+5x^3-6x^4)\red{-}(24x+45x^2-72x^3)(\bruch{1}{2}x^2-\bruch{2}{3}x^3)]}{(4x^2+5x^3-6x^4)^4} [/mm]

So brauchst du nur noch die Terme in der eckigen Klammer ausmultiplizieren, und zusammenfassen.
(Achte aber auf das Rot markierte Minus.

Marius

Bezug
                        
Bezug
Quotientenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Fr 25.04.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke Marius!

Gruß

Angelika

Bezug
        
Bezug
Quotientenregel: kürzen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Fr 25.04.2008
Autor: Al-Chwarizmi

hallo Angelika!

ich habe zuerst gestaunt über den Ausdruck mit den hohen Exponenten

aber dann habe ich etwas gemerkt:

> f(x) = [mm]\bruch{( \bruch{1}{2}x^2- \bruch{2}{3}x^3)^2}{(4x^2+5x^3-6x^4)^3}[/mm]

man könnte doch vorweg einmal aus Zähler und Nenner etliche x-Potenzen ausklammern und kürzen!

das erleichtet die folgende Ableiterei bestimmt ganz erheblich

Gruß    al-Ch.

Bezug
                
Bezug
Quotientenregel: Stimmt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Fr 25.04.2008
Autor: M.Rex


> hallo Angelika!
>  
> ich habe zuerst gestaunt über den Ausdruck mit den hohen
> Exponenten
>  
> aber dann habe ich etwas gemerkt:
>  
> > f(x) = [mm]\bruch{( \bruch{1}{2}x^2- \bruch{2}{3}x^3)^2}{(4x^2+5x^3-6x^4)^3}[/mm]
>  
> man könnte doch vorweg einmal aus Zähler und Nenner etliche
> x-Potenzen ausklammern und kürzen!
>  
> das erleichtet die folgende Ableiterei bestimmt ganz
> erheblich

Wohl wahr. Das habe ich nicht gesehen.

>  
> Gruß    al-Ch.

Marius

Bezug
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