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Guten Abend,
ich bin gerade dabei meine Vorlesungsunterlagen durchzuarbeiten und bin dabei auf einen Abschnitt gestoßen, den ich mir nicht so recht erklären kann, wahrscheinlich, weil mir insgesamt Quotientenräume nicht so liegen.
So hatten wir ein Beispiel:
Sei V = [mm] \IR^{3} [/mm] und U [mm] =Span_{\IR} [/mm] {(1,1,1)}
Dann ist
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + U, [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + U,
eine Basis des Quotientenvektorraumes V/U.
Was genau in Quotientenvektorräumen passiert, habe ich mir bisher so erklärt, als dass man den gesamten Raum in Geraden unterteilt, die alle Parallel liegen, sodass dann alle Punkte auf einer Geraden in Relation zueinander stehen, wie das zuvor bei den Restklassen war.
In diesem Fall habe ich den Vektorraum [mm] \IR^{3} [/mm] in lauter Geraden mit (1,1,1) geteilt.
Vielleicht kann jemand meine vielleicht falsche Sicht dieser Quotientenräume berichtigen.
Weiter habe ich ja oben eine Basis mit:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + U, [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + U,
angegeben.
Für eine Basis gilt ja nach der Definition, dass sie ein maximal linear unabhängiges Erzeugendensystem ist
Erzeugendensystem:
Mit den zwei Vektoren der Basis spanne ich eine [mm] x_{1}-x_{2}-Ebene [/mm] auf, durch welche natürlich alle dieser parallel verlaufenden Geraden (1,1,1) bzw. Äuivalenzklassen durchlaufen und diese schneiden. Doch wie genau zeigt man hier, dass es ein Erzeugendensystem ist und was für einen Einfluss hat das + U nach jedem Basisvektor?
Ich habe mir das bisher so erklärt, dass ich diese Ebene aufspanne und durch das +U diese nach Oben und Unten entlang einer Geraden verschieben kann, um wirklich jeden Punkt jeder Geraden treffen zu können.
Lineare Unabhängigkeit:
Dass die beiden Vektoren (1,0,0) und (0,1,0) linear unabhägig sind, lässt sich ja leicht zeigen. Doch wie verändert sich das mit dem +U.
Dieses U kann ja jeder beliebige Vektor sein, für den bei
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] x=y=z gilt.
Wie genau gehe ich hier am besten vor, um Lineare Unabhängigkeit zu zeigen?
Ich hoffe, jemand kann hier etwas Licht in mein Lineares Dunkel bringen.
Vielen Dank schoneinmal.
Es grüßt
EzioDelRio
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 08.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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