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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 So 21.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
Hey :)
Ich hab mir einiges zum Thema "Äquivalenzklasse" und "Quotientenmenge" durchgelesen und wollte fragen, ob ich das so ungefähr richtig verstanden hab.
Als Beispiel jetzt [mm] \IZ/6\IZ:=\{0,1,2,3,4,5\}
[/mm]
Die Äquivalenzklassen sind die Reste von 0 bis 5
Das Ganze zusammen ist eine Quotientenmenge
Die Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) ist dann zum Beispiel
[mm] 1.(0,0)\in\IZ/6\IZ [/mm] (reflexiv)
[mm] 2.(0,1)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(1,0)\in\IZ/6\IZ [/mm] (symm.)
[mm] 3.(0,1)\in\IZ/6\IZ,(1,2)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(0,2)\in\IZ/6\IZ [/mm] (transitiv)
Kurze Frage noch: könnte ich bei 3. auch schreiben [mm] (0,1)\in\IZ/6\IZ,(2,1)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(0,2)\in\IZ/6\IZ [/mm] (transitiv)? Ich hab jetzt (2,1) statt (1,2) geschrieben... geht das? Also im Buch stand [mm] (x,y)\in R,(y,z)\in R\Rightarrow(x,z)\in [/mm] R, also in der Reihenfolge, wie ich es bei 3. zuerst hingeschrieben hab :D
Gruß,
s-jojo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 So 21.03.2010 | | Autor: | Micha |
Hallo s-jojo!
> Hey :)
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> Ich hab mir einiges zum Thema "Äquivalenzklasse" und
> "Quotientenmenge" durchgelesen und wollte fragen, ob ich
> das so ungefähr richtig verstanden hab.
>
> Als Beispiel jetzt [mm]\IZ/6\IZ:=\{0,1,2,3,4,5\}[/mm]
>
> Die Äquivalenzklassen sind die Reste von 0 bis 5
> Das Ganze zusammen ist eine Quotientenmenge
>
> Die Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv)
> ist dann zum Beispiel
> [mm]1.(0,0)\in\IZ/6\IZ[/mm] (reflexiv)
> [mm]2.(0,1)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(1,0)\in\IZ/6\IZ[/mm] (symm.)
>
> [mm]3.(0,1)\in\IZ/6\IZ,(1,2)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(0,2)\in\IZ/6\IZ[/mm]
> (transitiv)
>
> Kurze Frage noch: könnte ich bei 3. auch schreiben
> [mm](0,1)\in\IZ/6\IZ,(2,1)\in\IZ/6\IZ\Rightarrow(0,2)\in\IZ/6\IZ[/mm]
> (transitiv)? Ich hab jetzt (2,1) statt (1,2) geschrieben...
> geht das? Also im Buch stand [mm](x,y)\in R,(y,z)\in R\Rightarrow(x,z)\in[/mm]
Hier ist einiges durcheinander. Wenn du das Beispiel [mm]\IZ/6\IZ[/mm] betrachtest, dann definiert man die Äquivalenzrelation wie folgt definiert:
$$a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a-b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 6$$
Ein paar $(a,b) [mm] \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ$ [/mm] ist also dann in $R$ (R ist hier die Relation [mm] $\equiv$), [/mm] falls die deren Differenz bei der Division durch $6$ den Rest $0$ besitzt. Von daher geht auch dein Beispiel nicht, weil eben $(0,1) [mm] \notin \equiv$, [/mm] denn deren Differenz 1 ist nicht durch 6 teilbar.
Wenn du nun die Definition betrachtest, kannst du die Äquivalenzbedingungen direkt nachprüfen:
$$ a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a-b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 6 [mm] \Leftrightarrow \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : k*6 = (a-b) [mm] \Leftrightarrow \exists [/mm] k' [mm] \in \IZ [/mm] : k'*6 = (b-a) [mm] \Leftrightarrow [/mm] b-a [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 6 [mm] \Leftrightarrow [/mm] b [mm] \equiv [/mm] a$$
für die Symmetrie beispielsweise. Versuch es nun mal mit den anderen Ä-Bedingungen.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mi 24.03.2010 | | Autor: | s-jojo |
Hi :)
Sorry, aber ich bin vorher nicht dazu gekommen, zurückzuschreiben...
Für Reflexivität würde ich Folgendes schreiben:
[mm] a\equiv b\gdw a-b=0mod6\gdw a-a=0mod6\gdw a\equiv [/mm] a
Transitivität:
Seien [mm] a\equiv [/mm] b und [mm] b\equiv [/mm] c
[mm] \Rightarrow a-b\equiv 0mod6\wedge b-c\equiv [/mm] 0mod6
[mm] \Rightarrow 6k=a-b\wedge [/mm] 6k=b-c
[mm] \Rightarrow [/mm] 6k=a-b=b-c
[mm] \Rightarrow [/mm] 6k=a-c
[mm] \Rightarrow a-c\equiv [/mm] 0mod6
[mm] \Rightarrow a\equiv c\in [/mm] R
Kann man das so beweisen? :D
Lg
s-jojo
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Hallo,
> Für Reflexivität würde ich Folgendes schreiben:
Sei a [mm] \in \IZ.
[/mm]
Es ist
a-a=0=0*6
> [mm]\gdw a-a=0mod6\gdw a\equiv[/mm] a
>
> Transitivität:
Seien [mm] a,b,c\in \IZ [/mm] mit
> [mm]a\equiv[/mm] b und [mm]b\equiv[/mm] c
> [mm]\Rightarrow a-b\equiv 0mod6\wedge b-c\equiv[/mm] 0mod6
> [mm]\Rightarrow 6k=a-b\wedge[/mm] 6k=b-c
Diese Zeile hier stimmt nicht.
Die Def. für die Äquivalenz sagt, daß eine Zahl [mm] \eqiuv [/mm] 0 mod 6 ist, wenn sie ein ganzzahliges Vielfaches von 6 ist.
Du sagst in Deiner Zeile aber mehr, nämlich daß a-b und b-c dasselbe Vielfache von 6 sind.
(Mal abgesehen davon: bevor Du mit k anrückst, müßtest Du erstmal erklären, was k sein soll.
Es fehlt "es existiert ein k [mm] \in \IZ")
[/mm]
Richtig ginde es also so weiter:
<==> es gibt [mm] k,k'\in \IZ [/mm] mit ...
Gruß v. [mm] Angelaa\equiv b\gdw [/mm] a-b=0mod6
> [mm]\Rightarrow[/mm] 6k=a-b=b-c
> [mm]\Rightarrow[/mm] 6k=a-c
> [mm]\Rightarrow a-c\equiv[/mm] 0mod6
> [mm]\Rightarrow a\equiv c\in[/mm] R
>
> Kann man das so beweisen? :D
>
> Lg
> s-jojo
>
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