Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Sippox |
| Aufgabe | Für welche Werte von x konvergiert die folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2x)^{n} [/mm] = [mm] u_{n} [/mm] |
Ich habe jetzt das Quotientenkriterium benutzt und so gelöst.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{u_{n+1}}{u_{n}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{(2x)^{n+1}}{(2x)^{n}}| [/mm] = |2x|
Für die Werte |x| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert die Reihe.
Der Konvergenzradius liegt bei [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]
Ist das soweit richtig?
Mir stellt sich allerdings noch die Frage, warum man das Konvergenz- und Divergenzverhalten so nachweisen kann. Ich hatte zunächst vermutet, dass man die Reihe mit einer geometrischen Reihe vergleicht, dessen Konvergenzverhalten bekannt ist und dann auf Majorante und Minorante unterscheidet?
Aber das Konvergenzverhalten von [mm] u_{n+1} [/mm] ist doch auch nicht bekannt. Und bei beiden handelt es sich um geometrische Reihen oder nicht?
Wie erklärt sich das Quotientenkriterium?
Vielen Dank!
Sippox
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 So 25.10.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Sippox,
Dein Ergebnis ist in Ordnung, wenn auch die Schreibweise etwas durcheinander geht. Für die Bestimmung des Konvergenzradiuses nutzt man das Quotientenkriterium, setzt hier aber den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Reihenglieder an und nicht, wie von Dir im ersten Teil der Gleichung geschrieben, den Quotienten zweier Reihen.
Dass das funktioniert, hängt, wie von Dir vermutet, mit der Majorante einer konvergenten Reihe zusammen. Mit Hilfe der vollständigen Induktion kann man eine Abschätzung machen, dass ab einem bestimmten Reihenglied alle folgenden Glieder kleiner sind als die Vergleichsglieder einer konvergenten Reihe. Damit schlägt das Majorantenkriterium zu und die Konvergenz ist gewährleistet.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Do 29.10.2009 | | Autor: | Sippox |
Danke, das hilft mir weiter!
Gruß
Sippox
|
|
|
|
