Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Mi 11.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | habe hier
[mm] \summe_{i=2}^{\infty}\bruch{sin(k²)}{k^k}
[/mm]
konvergenz oder absolute konvergenz soll festgestellt werden |
[mm] |\bruch{ak+1}{ak}|=|q<1|
[/mm]
so da hab ich dann jetzt
[mm] \bruch{\bruch{sin(k²+1)}{(k+1)^{k+1}}}{\bruch{sin(k²)}{k^{k}}}
[/mm]
stimmt das so ? wenn ja wie gehts weiter
danke für eine antwort
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Hallo Björn!
Verwende hier besser das Wurzelkriterium sowie die Relation $-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sin(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo bjoern.g!
[mm] ak=sin(k^2/k^k)
[/mm]
Berechne |ak|
Berechne |a(k+1)|
Berechne u=|a(k+1)/ak|
Berechne q=limes u
k gegenunendlich
falls 0<q<1 :absolute Konvergens;d.h.:Konvergens
sonst selben Berechnungen mit ak
Falls Du eine Frage hast teile sie mir Bitte mit.
Grüße Martha.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mi 11.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
hallo martha das hab ich doch bereits aufgestellt so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Mi 11.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Majorante zu finden ging hier wohl am schnellsten!
oder natürlich Wurzelkr. das sollte man direkt bei [mm] k^k [/mm] denken!
beachte |sin(irgendwas)|<1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
mit wurzelkriterium wäre das dann doch
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{\sin(k²)}{k^{k}}} =\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[k]{\sin(k²)}}{k} [/mm] = konvergent aber nicht absolut konvergent
weil k ja immer grösser wird und somit das ergebnis des bruchs immer kleiner
stimmt das?
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Hallo Björn!
Gegen welchen Wert strebt denn dieser Ausdruck konkret? Das sollte man schon hinschreiben ...
Und warum hast Du hier was gegen die absolute Konvergenz?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
der strebt gegen 0 !
naja für abslute konvergenz müsste ich doch da q<1 rausbekommen....
bekomm ich das?
also ich hätte gesagt das ist nur konvergent
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Sa 14.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist q und was passiert denn wenn du Absolutstriche setzt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Sa 14.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
die striche bedeutet doch betrag? und q ist der quotient?
aber hilft mri gerade nicht weiter sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du absolute Konvergenz zeigen kannst, folgt auch die Konvergenz der Reihe. Versuch also die absolute Konvergenz zu Zeigen. Betrachte also [mm] betrag(a_{k}).
[/mm]
Wurzelkriterium liefert:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{Isin(k²)I}{k^{k}}}\ge\wurzel[k]{\bruch{1}{k^{k}}}
[/mm]
=1/k
Das konvergiert gegen 0<1, also ist die Reihe nach dem Wurzelkriterium absolut konvergent und damit auch konvergent.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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