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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Konvergenz folgender Reihen mit Hilfe des Qotientenkriteriums:
[mm] a)\summe_{k=1}^{\intify}\bruch{k!}{k^k}
[/mm]
[mm] b)\summe_{k=1}^{\intify}\bruch{b}{(k+1)!}
[/mm]
[mm] c)\summe_{k=0}^{\intify}\bruch{b^k}{3^{2k+1}} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe Probleme bei obiger Aufgabe! Irgendwie glaub ich, dass ich ziemlichen mist gebaut hab.
Vielleicht kann ja jemand sich das kurz angucken?
So weit bin ich gekommen:
a)
[mm] =\bruch{(k+1)!*k^k}{(k+1)^{k+1}*k!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(k+1)*k^k}{(k+1)^{k+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{k^k}{(k+1)^k}
[/mm]
=0
b)
[mm] =\bruch{(k+1)*(k+1)!}{(k+2)*k}
[/mm]
[mm] =\bruch{(k+1)}{(k+2)*k}
[/mm]
=0
c)
[mm] =\bruch{b^{k+1}*3^{2k+1}}{3^{2k+2}*b^k}
[/mm]
[mm] =\bruch{b^k*b*3^{2k}*3}{3^{2k}*3^2*b^k}
[/mm]
[mm] =\bruch{b*3}{9}
[/mm]
=1/3b
Also irgendwie glaub ich kann das alles nicht so ganz sein!
Kann mir jemand helfen?
Wäre super dankbar für jede Hilfe
Viele Grüße
chipsy_101
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> Untersuchen Sie die Konvergenz folgender Reihen mit Hilfe
> des Qotientenkriteriums:
> [mm]a)\summe_{k=1}^{\intify}\bruch{k!}{k^k}[/mm]
> [mm]b)\summe_{k=1}^{\intify}\bruch{b}{(k+1)!}[/mm]
> [mm]c)\summe_{k=0}^{\intify}\bruch{b^k}{3^{2k+1}}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe Probleme bei obiger Aufgabe! Irgendwie glaub ich,
> dass ich ziemlichen mist gebaut hab.
> Vielleicht kann ja jemand sich das kurz angucken?
> So weit bin ich gekommen:
>
> a)
> [mm]=\bruch{(k+1)!*k^k}{(k+1)^{k+1}*k!}[/mm]
> [mm]=\bruch{(k+1)*k^k}{(k+1)^{k+1}}[/mm]
> [mm]=\bruch{k^k}{(k+1)^k}[/mm]
> =0
>
> b)
> [mm]=\bruch{(k+1)*(k+1)!}{(k+2)*k}[/mm]
> [mm]=\bruch{(k+1)}{(k+2)*k}[/mm]
> =0
>
> c)
> [mm]=\bruch{b^{k+1}*3^{2k+1}}{3^{2k+2}*b^k}[/mm]
> [mm]=\bruch{b^k*b*3^{2k}*3}{3^{2k}*3^2*b^k}[/mm]
> [mm]=\bruch{b*3}{9}[/mm]
> =1/3b
>
> Also irgendwie glaub ich kann das alles nicht so ganz
> sein!
> Kann mir jemand helfen?
>
> Wäre super dankbar für jede Hilfe
> Viele Grüße
> chipsy_101
Hallo chipsy
bei den Umformungen in (a)-(c) stimmt was nicht
zu (a) [mm] \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right|=\bruch{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}*\bruch{k^k}{k!}=\bruch{(k+1)k!k^k}{(k+1)(k+1)^kk!}=\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k=\left(\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}\right)^k\longrightarrow\bruch{1}{e} [/mm] < 1 für [mm] k\rightarrow\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\intify}\bruch{k!}{k^k} [/mm] absolut konvergent
zu (b) [mm] \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right|\underbrace{=}_{b\ne 0}\bruch{b}{(k+2)!}*\bruch{(k+1)!}{b}=\bruch{(k+1)!}{(k+2)(k+1)!}=\bruch{1}{k+2}\longrightarrow [/mm] 0 < 1 für [mm] k\rightarrow\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\intify}\bruch{b}{(k+1)!} [/mm] absolut konvergent für alle [mm] b\in\IR [/mm] (für b=0 auch, denn [mm] \summe_{k=1}^{\intify}\bruch{0}{(k+1)!}=0)
[/mm]
zu (c) [mm] \left|\bruch{a_{k+1}}{a_k}\right|=\bruch{b^{k+1}}{3^{2k+3}}*\bruch{3^{2k+1}}{b^k}=b*\bruch{3^{2k+1}}{3^{2k+1}*3^2}=\bruch{1}{9}b \longrightarrow \bruch{1}{9}b [/mm] <1 für b < 9 für [mm] k\rightarrow\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{\intify}\bruch{b^k}{3^{2k+1}} [/mm] absolut konvergent für b<9 und divergent für b>9. Für b=9 musst du das noch explizit überprüfen
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Di 30.01.2007 | | Autor: | chipsy_101 |
Hallo schachuzipus,
tausend Dank für deine Hilfe!! ich werde es mir noch mal anschauen und hoffe dass ich es dann kapiere!!!
Vielen Dank!!!!
chipsy_101
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Hallo
ich hab es mir jetzt nochmal angeschaut, ich habs denk ich auch verstanden. Nur bei der a verstehe ich den vorletzten Schritt nicht so ganz
[mm] =\left(\bruch{k}{k+1}\right)^k=\left(\bruch{1}{1+\bruch{1}{k}}\right)^k\
[/mm]
Also mir ist nicht so ganz klar warum ich da kürzen darf?
Wäre dankbar für eine Antwort!!!
Viele Grüße
chipsy_101
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Hallo,
einfach im Zähler und Nenner k ausklammern und dann raushauen.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Fr 02.02.2007 | | Autor: | chipsy_101 |
Ich danke dir ganz ganz herzlich für deine Hilfe.
Habs jetzt verstanden! *freu*
Viele Grüße
chipsy_101
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