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Forum "Folgen und Reihen" - Quotienten-/Wurzelkriterium
Quotienten-/Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Quotienten-/Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Fr 02.01.2009
Autor: Hanz

Hallo,
in unserem Analysis Skript habe ich bei den Konvergenzkriterien für Reihen folgendes nicht ganz verstanden: Zuerst wurden das Quotienten- und Wurzelkriterium erklärt und dann folgt eine Bemerkung:

"(a) Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium: Ist das Quotientenkriterium erfüllt, so ist auch das Wurzelkriterium erfüllt.

(b) Betrachten Sie zum besseren Verständnis die Folge [mm] x_k=2^{-k} [/mm] für gerades k und [mm] x_k=2x_{k-1} [/mm] für ungerades k und die zugehörige Reihe."


Die Folge sieht dann ja so aus [mm] x_k=\begin{cases} 2^{-k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2x_{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm]

Was ich hierbei nicht verstehe ist:
1) Wie berechne ich die Folgenglieder für ungerades k (ich verstehe nicht genau was mit [mm] 2x_{k-1} [/mm] gemeint ist)

2) Wie wende ich Wurzel- /Quotientenkriterium an, wenn die "Folgenvorschrift" für gerades/ungerades k verschieden sind?
Muss ich dann beide einzeln untersuchen?

        
Bezug
Quotienten-/Wurzelkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Fr 02.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Hanz,

> Hallo,
>  in unserem Analysis Skript habe ich bei den
> Konvergenzkriterien für Reihen folgendes nicht ganz
> verstanden: Zuerst wurden das Quotienten- und
> Wurzelkriterium erklärt und dann folgt eine Bemerkung:
>  
> "(a) Das Wurzelkriterium ist schärfer als das
> Quotientenkriterium: Ist das Quotientenkriterium erfüllt,
> so ist auch das Wurzelkriterium erfüllt.
>  
> (b) Betrachten Sie zum besseren Verständnis die Folge
> [mm]x_k=2^{-k}[/mm] für gerades k und [mm]x_k=2x_{k-1}[/mm] für ungerades k
> und die zugehörige Reihe."
>  
>
> Die Folge sieht dann ja so aus [mm]x_k=\begin{cases} 2^{-k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2x_{k-1}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>  
> Was ich hierbei nicht verstehe ist:
>  1) Wie berechne ich die Folgenglieder für ungerades k (ich
> verstehe nicht genau was mit [mm]2x_{k-1}[/mm] gemeint ist)

Na, oben steht doch die Definition, einfach einsetzen ;-)

Wenn $k$ ungerade ist, so ist $k-1$ gerade, also ist [mm] $2x_{k-1}=2\cdot{}2^{-(k-1)}=2^{2-k}$ [/mm]

Also [mm] $x_k=\begin{cases} 2^{-k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ 2^{2-k}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}$ [/mm]

>  
> 2) Wie wende ich Wurzel- /Quotientenkriterium an, wenn die
> "Folgenvorschrift" für gerades/ungerades k verschieden
> sind?
>  Muss ich dann beide einzeln untersuchen?

Berechne mit dem Wurzelkritierum den [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|x_k|}$ [/mm]

Setze beide Teilfolgen (für $k$ gerade/ungerade) ein und schaue, was herauskommt

Mit dem QK berechne [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{x_{k+1}}{x_k}\right|$ [/mm]

Unterscheide auch hier zwischen $k$ gerade und $k$ ungerade, das vertauscht jeweils Zähler und Nenner.

Was kommt hier heraus?

LG

schachuzipus


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Quotienten-/Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Fr 02.01.2009
Autor: herkulesamstart

Hallo,

bei mir haperts noch recht beim umformen. Ich habe diesen Schritt noch nicht so verstanden:

[mm] 2\cdot{}2^{-(k-1)}=2^{2-k} [/mm]

Welche Umformungsregel wurde hier angewandt?
Kann mir jemand vllt Zwischenschritte dazu nennen oder ein ähnliches Beispiel.

gruß,
herkulesamstart

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Quotienten-/Wurzelkriterium: Potenzgesetze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Fr 02.01.2009
Autor: Loddar

Hallo herkules,

[willkommenmr] !!


Hier wurde eines der MBPotenzgesetze angewandt mit [mm] $a^m*a^n [/mm] \ = \ [mm] a^{m+n}$ [/mm] .

[mm] $$2*2^{-(k-1)} [/mm] \ = \ [mm] 2^1*2^{-k+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^{1-k+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2-k}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Quotienten-/Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Sa 03.01.2009
Autor: Hanz

So, ich hab mich mal dran getraut <.<

WK für gerades k:

$ [mm] \limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^{-k}} [/mm] $ = [mm] 2^{-1} [/mm] = 0,5

WK für ungerades k:

$ [mm] \limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^{2-k}} [/mm] $ = [mm] 2^{2-1} [/mm] = [mm] 2^{1} [/mm] = 2

-------------------------------------------------------------------------------------------

QK für gerades k:

$ [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{-k+1}}{2^{-k}}\right| [/mm] $ = 2

QK für ungerades k:

$ [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{2-k+1}}{2^{2-k}}\right| [/mm] $ = $ [mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{3-k}}{2^{2-k}}\right| [/mm] $ = 2

Nun habe ich für ungerades k jeweils den gleichen Grenzwert raus, aber für gerades k einen anderen. Ist das so richtig, oder hab ich mich verrechnet?

Muss ich beim QK die Brüche weiter umformen oder geht das so wie ich es geschrieben habe?

Bezug
                        
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Quotienten-/Wurzelkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Sa 03.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> So, ich hab mich mal dran getraut <.<
>  
> WK für gerades k:
>  
> [mm]\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^{-k}}[/mm] = [mm]2^{-1}[/mm] = 0,5 [ok]
>  
> WK für ungerades k:
>  
> [mm]\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{2^{2-k}}[/mm] = [mm]2^{2-1}[/mm] =
> [mm]2^{1}[/mm] = 2 [notok]

Dann wäre der [mm] $\limsup$ [/mm] ja 2 und die Reihe damit divergent, das wäre dann ja ein blödes Bsp. ;-)

Du hast die Wurzel-/Potenzgesetze "sträflich" missachtet beim Ziehen der k-ten Wurzel

Es ist [mm] $\sqrt[k]{2^{2-k}}=\sqrt[k]{2^{2}\cdot{}2^{-k}}=\sqrt[k]{2}\cdot{}\sqrt[k]{2^{-k}}$ [/mm]

Und das strebt für [mm] $k\to\infty$ [/mm] gegen [mm] $1\cdot{}2^{-1}=0,5$ [/mm]

Damit ist der [mm] $\limsup$ [/mm] für beide Teilfolgen <1, also ist die Reihe konvergent

>  
> -------------------------------------------------------------------------------------------
>  
> QK für gerades k:
>  
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{-k+1}}{2^{-k}}\right|[/mm]
> = 2 [ok]


>  
> QK für ungerades k:

Dann ist k+1 gerade, wie sieht dann hier [mm] $\frac{x_{k+1}}{x_k}$ [/mm] aus?


>  
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{2-k+1}}{2^{2-k}}\right|[/mm]

Der Zähler ist falsch!

> =
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{3-k}}{2^{2-k}}\right|[/mm]
> = 2 [notok]

Schaue dir nochmal genau an, wie hier in diesem Falle [mm] $\frac{x_{k+1}}{x_k}$ [/mm] aussieht

>  
> Nun habe ich für ungerades k jeweils den gleichen Grenzwert
> raus, aber für gerades k einen anderen. Ist das so richtig,
> oder hab ich mich verrechnet?

Etwas ...

>  
> Muss ich beim QK die Brüche weiter umformen oder geht das
> so wie ich es geschrieben habe?

Rechne nochmal genau nach und ziehe deine Schlüsse!


LG

schachuzipus

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Quotienten-/Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 So 04.01.2009
Autor: Hanz


> Es ist
> [mm]\sqrt[k]{2^{2-k}}=\sqrt[k]{2^{2}\cdot{}2^{-k}}=\underbrace{\sqrt[k]{2}}\cdot{}\sqrt[k]{2^{-k}}[/mm]
>  
> Und das strebt für [mm]k\to\infty[/mm] gegen [mm]1\cdot{}2^{-1}=0,5[/mm]

Ist es richtig, dass es hier [mm] \sqrt[k]{2} [/mm] und nicht [mm] \sqrt[k]{2²} [/mm] heißt?

> -------------------------------------------------------------------------------------------

> > QK für ungerades k:
>  
> Dann ist k+1 gerade, wie sieht dann hier
> [mm]\frac{x_{k+1}}{x_k}[/mm] aus?
>  
> >
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{2-k+1}}{2^{2-k}}\right|[/mm]
>
> Der Zähler ist falsch!
>  
> > =
> >
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{2^{3-k}}{2^{2-k}}\right|[/mm]
> > = 2 [notok]
>  
> Schaue dir nochmal genau an, wie hier in diesem Falle
> [mm]\frac{x_{k+1}}{x_k}[/mm] aussieht

Ist also k+1 wieder gerade mussich dann den Ausdruck für gerades k benutzen, also [mm] 2^{-k}, [/mm] dann ist es doch aber identisch mit dem oberen?

Bezug
                                        
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Quotienten-/Wurzelkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 So 04.01.2009
Autor: leduart

Hallo
im ersten Punkt hast du recht, da muss [mm] 2^2 [/mm] unter die Wurzel, ändert aber sonst nichts.
zu2. zweiaufeinanderfolgende Zahlen ist [mm] x_k [/mm]  gerade ist [mm] x_{k+1} [/mm] ungerade. es gibt keine 2 aufeinanderfolgende gerade Zahlen.
Gruss leduart

Bezug
                                                
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Quotienten-/Wurzelkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 So 04.01.2009
Autor: Hanz

Und wie wendet man dann das QK für ungerades k an? <.<

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Bezug
Quotienten-/Wurzelkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 So 04.01.2009
Autor: leduart

Hallo
Du kannst das QK NICHT für ungerade k anwenden, da das QK zwei aufeinanderfolgende Koeff. braucht. also entweder g/u oder u/g
die musst du beide betrachten.
Gruss leduart

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