Quersumm teilbarkeit < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:19 Sa 07.05.2016 | | Autor: | fugit |
| Aufgabe | Sei [mm] $n=\summe_{i=0}^{k} a_i10^i =\summe_{j=0}^{l} b_j1000^j \in \IN$ [/mm] (mit $0 [mm] \le a_i \le [/mm] 9 , 0 [mm] \le b_j \le [/mm] 999$).Zeigen sie:
a) $n$ ist durch $7$ teilbar genau dann wenn ihre gewichte Quersumme [mm] $Q_w(n)=\summe_{j=0}^{k} a_jw_j$ [/mm] durch $7$ teilbar ist,wo bei die Gewichte [mm] $w_j$ [/mm] gegeben sind durch:
$ | j (mod 6) |0|1|2| 3 | 4 | 5 |$
$ | [mm] w_i [/mm] |1|3|2|-1|-3 | -2|$
(b) $n$ ist durch $7$ teilbar genau dann wenn ihre alternierende $3$-Quersumme [mm] $Q'_3(n)=\summe_{j=0}^{l}(-1)^jb_j$ [/mm] durch $7$ teilbar ist.
$c) n [mm] \equiv [/mm] Q'_3(n) [mm] \equiv Q_w(n) [/mm] (mod 7)$
(d) $n$ ist durch $37$ teilbar genau dann wenn ihre $3$-Quersumme [mm] $Q'_3(n)=\summe_{j=0}^{l}b_j [/mm] $ durch $37$ teilbar ist.
(e) Ähnliche Teilbarkeitsregeln gibt es für jede beliebige Zahl (anstelle von $7$ oder $37$). |
hi
kann mir einer nen tipp für die $a)$ geben? muss ich da mal was mit der Tabelle machen?
$b)$
ich schreibe $n$ als $n=1000*b+a=1001b+(a-b)$. $a$ ist die Zifferngruppe aus den letzten $3$ Ziffern der Zahl und $1000b$ ist somit der Rest.Jetzt muss ich widerrum prüfen ,ob $(a-b)$ durch $7$ teilbar ist.Dies mache ich mit der gleichen prozedur,jedoch dadurch,dass $ b$ eine negatives Vorzeichen hat ensteht so mit das alternierende Vorzeichen.
ich möchte gerne nun meinen Beweis mit der modulo Rechnung durch führen
$7$ teilt $n [mm] \gdw [/mm] n [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 7)$
mit aufgaben vorraussetzung $n = [mm] \summe_{j=0}^{l} b_j10^{3j}$ [/mm] mit $0 [mm] \le b_j \le [/mm] 999$
$n = [mm] \summe_{j=0}^{l} b_j10^{3j} [/mm] mod 7 = [mm] (\summe_{j=0}^{l} (b_j10^{3j} [/mm] mod 7 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} (b_j [/mm] mod [mm] 7*10^{3j} [/mm] mod 7 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} (b_j [/mm] mod [mm] 7*(-1)^j [/mm] mod7 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} b_j *(-1)^j [/mm] ) mod 7 $
beweis ende
c) keine ahnung.. :/
d)
$37$ teilt $n [mm] \gdw [/mm] n [mm] \equiv [/mm] 0 (mod 37)$
ich schreibe $n$ als $n=1000*b+a=999b+(a+b)$. jetzt auf a+b wieder die gleich prozedur
$ n = [mm] \summe_{j=0}^{l} b_j10^{3j} [/mm] mod 37 = [mm] (\summe_{j=0}^{l} (b_j10^{3j} [/mm] mod 37 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} (b_j [/mm] mod [mm] 37\cdot{}10^{3j} [/mm] mod 37 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} (b_j [/mm] mod [mm] 37\cdot{}(1)^j [/mm] mod37 )) mod [mm] 7=(\summe_{j=0}^{l} b_j \cdot{}(1)^j [/mm] ) mod 37 = [mm] (\summe_{j=0}^{l} b_j [/mm] ) mod 37 $ Beweis end
e) leider auch keine ahnung..:/
liebe grüße euch allen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mo 09.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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