Quadrik, Normalform und Typ < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In Abhängigkeit von t [mm] \in \IR [/mm] schreibe man die Quadrik
[mm] 2x^{2}+ [/mm] 2txy + [mm] 2y^{2}-t^{2} [/mm] − 1 = 0
in Matrix-Form, bestimme die Normalform bezüglich der Isometrien und gebe den Typ (Ellipse,Hyperbel, . . . ) an. |
das habe ich dann mal so wie in unserer Übung gemacht:
[mm] 2x^{2}+ [/mm] 2txy + [mm] 2y^{2}-t^{2} [/mm] − 1 = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] y)\pmat{ 2 & t \\ t & 2 }\vektor{x \\ y}-t^{2}-1=0
[/mm]
Normalform bestimmen:
[mm] M=\pmat{ 2-\lambda & t \\ t & 2-\lambda }, detM=(2-\lambda)^{2}-t^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=2+t; \lambda_{2}=2-t
[/mm]
[mm] \Rightarrow v_{1}=\vektor{1 \\ 1}, v_{2}=\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow b_{1}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1}, v_{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow B=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
[mm] (\overline{x} \overline{y})B^{T}AB\vektor{\overline{x} \\\overline{y}}-t^{2}-1=0
[/mm]
[mm] (\overline{x} \overline{y})\pmat{ 2-t & 0 \\ 0 & 2+t }\vektor{\overline{x} \\\overline{y}}-t^{2}-1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (2-t)\overline{x}^{2}+(2+t)\overline{y}^{2}=t^{2}+1
[/mm]
so sind wir in der übung vorgegangen. jetzt bin ich aber leider nicht in der lage daraus die normalenform bzw. den typ (ellipse?) zu erhalten.
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> In Abhängigkeit von t [mm]\in \IR[/mm] schreibe man die Quadrik
> [mm]2x^{2}+[/mm] 2txy + [mm]2y^{2}-t^{2}[/mm] − 1 = 0
> in Matrix-Form, bestimme die Normalform bezüglich der
> Isometrien und gebe den Typ (Ellipse,Hyperbel, . . . ) an.
> das habe ich dann mal so wie in unserer Übung gemacht:
> [mm]2x^{2}+[/mm] 2txy + [mm]2y^{2}-t^{2}[/mm] − 1 = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]y)\pmat{ 2 & t \\ t & 2 }\vektor{x \\ y}-t^{2}-1=0[/mm]
>
> Normalform bestimmen:
> [mm]M=\pmat{ 2-\lambda & t \\ t & 2-\lambda }, detM=(2-\lambda)^{2}-t^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=2+t; \lambda_{2}=2-t[/mm]
> [mm]\Rightarrow v_{1}=\vektor{1 \\ 1}, v_{2}=\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow b_{1}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 1}, v_{2}=\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow B=\bruch{1}{\wurzel{2}}\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }[/mm]
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> [mm](\overline{x} \overline{y})B^{T}AB\vektor{\overline{x} \\\overline{y}}-t^{2}-1=0[/mm]
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> [mm](\overline{x} \overline{y})\pmat{ 2-t & 0 \\ 0 & 2+t }\vektor{\overline{x} \\\overline{y}}-t^{2}-1=0[/mm]
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> [mm]\Rightarrow (2-t)\overline{x}^{2}+(2+t)\overline{y}^{2}=t^{2}+1[/mm]
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> so sind wir in der übung vorgegangen. jetzt bin ich aber
> leider nicht in der lage daraus die normalenform bzw. den
> typ (ellipse?) zu erhalten.
Um, Normalenform? Gefragt war Normalform - und ich nehme an, die hast Du nun glücklich erstellt (mittels Hauptachsentransformation). Zur Klassifikation der Quadrik (Typ): Nun musst Du die verschiedenen Fälle des positiv, 0 oder negativ Seins der Eigenwerte $2-t$ und $2+t$ untersuchen. Die rechte Seite [mm] $t^2+1$ [/mm] ist ja zum Glück immer [mm] $\geq [/mm] 1$.
Sind z.B. beide $>0$ so liegt eine Ellipse vor (deren Halbachsen kannst Du leicht ablesen). Sind beide $0$ so liegt der ausgeartete Fall der leeren Menge vor. Haben die $2-t$ und $2+t$ aber entgegengesetztes Vorzeichen, so liegt eine Hyperbel vor. Dann musst Du noch die Fälle anschauen, bei denen einer (oder beide) 0 sind.
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