Quadratzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Fr 03.12.2010 | | Autor: | Frisco |
| Aufgabe | Vor: a,b,c [mm]\in\IN\[/mm] mit 0<a²+b²-abc[mm]\leq[/mm]c
Beh a²+b²-abc ist eine Quadratzahl |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe bei meinem Fachbereich gesehen als Rätselaufgabe!
Ich habe mir mal ein paar Beispiele aufgeschrieben, kann es sein das mit der Vorraussetzung immer 1 als Quadratzahl herauskommt, dass also a²+b²-abc=1 ist?!
Wie könnte man das Beweisen, ich will wirklich nicht die Lösung nur einen Tipp mit welchem Satz ich diese Aufgabe lösen könnte!
Satz von Lagrange geht leider nicht!
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Fr 03.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Vor: a,b,c [mm]\in\IN\[/mm] mit 0<a²+b²-abc[mm]\leq[/mm]c
> Beh a²+b²-abc ist eine Quadratzahl
>
> Hallo,
> ich habe folgende Aufgabe bei meinem Fachbereich gesehen
> als Rätselaufgabe!
> Ich habe mir mal ein paar Beispiele aufgeschrieben, kann
> es sein das mit der Vorraussetzung immer 1 als Quadratzahl
> herauskommt, dass also a²+b²-abc=1 ist?!
> Wie könnte man das Beweisen, ich will wirklich nicht die
> Lösung nur einen Tipp mit welchem Satz ich diese Aufgabe
> lösen könnte!
> Satz von Lagrange geht leider nicht!
> Danke für eure Hilfe
Hallo,
es läuft wohl auf eine Fallunterscheidung hinaus.
Für c=2 erhält man [mm] a^2+b^2-2ab=(a-b)^2.
[/mm]
Das ist eine Quadratzahl, und es ist auch möglich, dass für diesen Term
[mm] 0
Für c=1 entsteht zwar auch ein positiver Wert
(es gilt [mm] a^2+b^2-2ab
Dann musst du noch den Fall [mm] c\ge3 [/mm] zu einem Widerspruch führen.
Gruß Abakus
>
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Hallo Frisco,
schau Dir mal folgende a,b,c an:
2,8,4
2,10,5
2,2n,n
3,2,2
3,3,2
3,4,2
3,8,3
[mm] 3,3^{n+2},3^{n+1}
[/mm]
4,4,2
4,5,2
[mm] k,k^{n+2},k^{n+1}
[/mm]
Eine Tabellenkalkulation ist bestimmt hilfreich...
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:04 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Frisco |
Danke für deinen Tipp der erste von Abakus kam mir nicht richtig vor, hatte dazu auch dein beispiel 2,8,4...
aber wie kann ich das nun beweisen? gibt es da einen Satz den man anwenden kann, oder soll ich mit deinem k, k^2n+1,... weiterarbeiten?
Grüße
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Guten Morgen,
ich sehe im Moment auch keine Beweismöglichkeit. Aber vielleicht finden wir ja zusammen etwas.
Der Beweisweg müsste etwa wie folgt aussehen:
Es scheint doch zu jeder Kombination a,b höchstens ein c zu geben, das beide Ungleichungen erfüllt. Wenn man das zeigen kann, hat man automatisch auch weitere Informationen über c.
Leider gelingt es nicht, die Ungleichungskette handhabbar umzuformen.
Hier so ein misslungener Versuch:
$ [mm] 0
$ [mm] abc
$ [mm] c<\bruch{a^2+b^2}{ab}\le c\bruch{ab+1}{ab} [/mm] $
...oder, wegen des [mm] \le [/mm] -Zeichens vielleicht besser:
$ [mm] c\bruch{ab}{ab+1}<\bruch{a^2+b^2}{ab+1}\le [/mm] c $
Nun steht ja zu vermuten, dass [mm] c=\left\lceil\bruch{a^2+b^2}{ab+1}\right\rceil [/mm] ist.
Das wäre zuerst zu zeigen. Dabei können die oberen Gaußklammern sicher wieder durch eine Ungleichungskette wie oben ersetzt werden.
Dann bliebe noch zu zeigen, dass es abhängig von c ein d gibt, so dass
[mm] a^2+b^2-abc=(a-b+d)^2=a^2+b^2+d^2-2ab+2ad-2bd
[/mm]
Hm. Soweit meine erste Idee.
Hast Du vielleicht eine andere?
Wenn man über quadratische Reste ginge, müsste [mm] a^2+b^2-abc [/mm] ja zu jedem Modul ein quadratischer Rest sein. Das dürfte schwerer zu zeigen sein.
Grüße
reverend
PS: Ich lasse die Frage mal halboffen. Vielleicht hat doch jemand einen hilfreicheren Tipp.
PPS: Mit $ a=k,\ [mm] b=k^{n+2},\ c=k^{n+1},\ k\in\IN [/mm] $ ergibt sich doch automatisch [mm] a^2+b^2-abc=k^2.
[/mm]
Daher auch die eigenartige Schreibweise der Exponenten, dann gilt die Angabe auch schon für n=1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Frisco |
Hallo,
ehrlichgesagt bin ich gestern Nacht auch soweit gekommen.
Ich meine mich zu erinneren, dass ich letztes Semester folgendes in einer Vorlesung gehört zu haben als eine Bemerkung:
[mm]\bruch{a^2+b^2}{ab+1}=ggT(a,b)^2[/mm]
jetzt habe ich leider dazu keinen Beweis, aber ich überlege mir mal einen!
Wenn wir das zeigen können, dann sind wir doch fertig?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Sa 04.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> ehrlichgesagt bin ich gestern Nacht auch soweit gekommen.
> Ich meine mich zu erinneren, dass ich letztes Semester
> folgendes in einer Vorlesung gehört zu haben als eine
> Bemerkung:
> [mm]\bruch{a^2+b^2}{ab+1}=ggT(a,b)^2[/mm]
> jetzt habe ich leider dazu keinen Beweis, aber ich
> überlege mir mal einen!
Gegenbeispiele sind aber leicht zu finden: a=3, b=15
außer für ggT(a,b)=1 hat doch ab+1 überhaupt keinen Teiler mit ggT(a,b) gemeinsam.
> Wenn wir das zeigen können, dann sind wir doch fertig?!
Das sehe ich auch nicht. Aber irgendwas kommt mir an der Formel trotzdem bekannt vor...
Noch ratlos,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Sa 04.12.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo zusammen
Ich gebe mal meine Beobachtugen. Man braucht nur den Fall a und b teilerfremd zu betrachten, denn sei k>1 etwa der grösste gemeinsame Teiler von a unb b, dann schreibe ich [mm] $a=k\bar [/mm] a$ und [mm] $b=k\bar [/mm] b$.
[mm] $0
[mm] $0
[mm] $0<\bar a^2+\bar b^2-\bar a\bar [/mm] b [mm] c)\leq \frac c{k^2}
Jetzt habe ich den starken Verdacht, dass fuer teilerfremde a und b und c, das die Voraussetzungen erfuellt,dann [mm] $a^2+b^3-abc=1$ [/mm] gilt. Aber vielleicht kann mich ja jemand wiederlegen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Sa 04.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo moudi,
> Ich gebe mal meine Beobachtugen. Man braucht nur den Fall a
> und b teilerfremd zu betrachten, denn sei k>1 etwa der
> grösste gemeinsame Teiler von a unb b, dann schreibe ich
> [mm]a=k\bar a[/mm] und [mm]b=k\bar b[/mm].
> [mm]0
> [mm]0
> Division durch [mm]k^2[/mm] erhaelt man
> [mm]0<\bar a^2+\bar b^2-\bar a\bar b c)\leq \frac c{k^2}
> d.h. [mm]c[/mm] erfuellt die Bedingungen fuer [mm]\bar a[/mm] und [mm]\bar b[/mm], und
> wenn [mm]\bar a^2+\bar b^2-\bar a\bar b c[/mm] eine Quadratzahl ist,
> dann auch [mm]k^2(\bar a^2+\bar b^2-\bar a\bar b c)[/mm].
Ja, sehr schön.
> Jetzt habe ich den starken Verdacht, dass fuer teilerfremde
> a und b und c, das die Voraussetzungen erfuellt,dann
> [mm]a^2+b^3-abc=1[/mm] gilt. Aber vielleicht kann mich ja jemand
> wiederlegen.
Nur ein Tippfehler, die dritte Potenz, oder?
Man kann ja oBdA [mm] a\le{b} [/mm] annehmen.
Dann finde ich überhaupt nur folgende Typen von Lösungen für a,b,c:
1) 1,n,n
2) n,n+1,2
3) [mm] n,n^2-1,n [/mm] (für n=2 wie Typ 2, also für n>2)
Für alle gelten die Voraussetzungen, und es gilt Deine Vermutung. Aber gibt es wirklich nur diese Lösungen?
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Ah, vielleicht so: dass die Beschränkung auf (a,b)=1 gilt, hast Du ja gezeigt. Nun wissen wir, dass es ganze Zahlen s,t gibt, so dass s*a+t*b=1 ist.
Deine Vermutung hängt hiermit womöglich zusammen und wäre auch so zu schreiben:
[mm] a^2+b^2-abc=a*a+(b-ac)*b=(a-bc)*a+b*b=1
[/mm]
Kann man damit nicht was anfangen?
Grüße
reverend
PS: widerlegen ohne "ie".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 Mo 06.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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