Quadratische Reste < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 27.05.2009 | | Autor: | mafra |
Hallo. Ich habe da mal eine allgemeine Frage.Und Zwar was ist bitte der Unterschied zwischen einem Quadrat modulo p und einem quadraitschen Rest modulo p? Ich hänge da grade an einem Beweis und kommt nicht weiter weil ich wohl nicht ganz verstanden habe was das nun ist. danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mafra,
vielleicht ist die Frage zu einfach, als dass ich sie verstünde.
> ... was ist bitte der Unterschied zwischen einem Quadrat modulo p
> und einem quadraitschen Rest modulo p?
Beide sind (uU kongruent, in der Betrachtung ergibt sich also kein Unterschied. Allgemeiner lässt sich sagen, dass es zu jedem quadratischen Rest a (mod p) ein m<p gibt, so dass [mm] m^2\equiv a\mod{p}.
[/mm]
Lies doch mal den ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel, der ist ganz gut geschrieben. Wahrscheinlich reicht schon der Einführungsabschnitt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Do 28.05.2009 | | Autor: | mafra |
erst mal danke für die schnelle antwort. habe den artikel gelesen und ic dachte auch schon vorher dass ich es verstanden habe. Problem ist folgendes. Ich will den Satz dass jede natürliche Zahl Summe von vier Quadraten ist beweisen.
Der Bew. geht mit Euler Identität usw. das is mir klar. Ich versteh auch warum ich (p+1)/2 Quadrate mod p habe (p O.E. ungerade). Was ich nicht verstehe ist warum ich danngenauso viele (also (p+1)/2)) Restklassen der Form [mm] -1-x^2 [/mm] habe. Nehme ich als BSp mal p=7 dann erhalte ich ja folgende quadratische Reste:
0 [mm] \equiv 0^{2}mod7
[/mm]
[mm] 1\equiv 1^{2}mod7
[/mm]
[mm] 4\equiv 2^{2}mod7
[/mm]
[mm] 2\equiv 3^{2}mod7
[/mm]
und danach wiederholt sich das. also sind die quadr. Reste 0,1,4,2
d.h. meine Anzahl der Rest2 ist gleich der Anzahl meiner Quadrate also (p+1)/2 denn meine Quadrate sind [mm] 0^{2},1^{2},2^{2},3^{2}. [/mm] So aber was soll das mit den Restklassen und was ist mit Form gemeint?
Danach heisst es gibt es nur p Restklassen mod p (ist klar). -> unter diesen muss wenigsten ein Quadrat sein d.h. die Gleichung [mm] x^2+y^2+1= [/mm] 0 ist lösbar mod p. Kann mir jemand evtl dabei helfen? Danke und Grüße
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Hallo mafra,
es geht also darum zu zeigen, dass [mm] x^2+y^2+1\equiv 0\mod{p} [/mm] immer lösbar ist, wenn ich es recht verstehe.
Umgeformt ergibt sich [mm] y^2\equiv -1-x^2 \mod{p}.
[/mm]
Nehmen wir an, diese Kongruenz sei nicht lösbar. Für die linke Seite sind [mm] \tfrac{p+1}{2} [/mm] Restklassen möglich, eben die quadratischen Reste einschließlich der 0. Das gilt aber auch für die rechte Seite. Damit die Kongruenz niemals stimmt, müssten all diese Restklassen verschieden sein und es müsste [mm] 2*\tfrac{p+1}{2}=p+1 [/mm] Restklassen geben. Dies ist nun aber ein Widerspruch, da nur p Restklassen [mm] \mod{p} [/mm] existieren. Also ist die Kongruenz lösbar.
Am Beispiel p=7: links sind die Reste 0,1,2,4 möglich; rechts entsprechend 6,5,4,2. Da eine Restklasse nun gar nicht auftaucht (3), gibt es sogar zwei mögliche Lösungen, nämlich
[mm] y^2\equiv{2}, x^2\equiv{4}\mod{7}\ \gdw\ y\equiv{3,4}, x\equiv{2,5}\mod{7} [/mm]
[mm] y^2\equiv{4}, x^2\equiv{2}\mod{7}\ \gdw\ y\equiv{2,5}, x\equiv{3,4}\mod{7} [/mm]
Dies war natürlich zu erwarten, da die geforderte Kongruenz ja symmetrisch in x und y ist.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Do 28.05.2009 | | Autor: | mafra |
cool.Danke! hoff jetzt hab ichs gecheckt.schönen tag noch.Grüße
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