Quadratische Gleichung in \IC < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finden sie alle [mm] z\in\IC, [/mm] die [mm] z^2-3z+3+i=0 [/mm] erfüllen |
hallo!
Normalerweise dürfte obige Aufgabe keine Probleme machen, aber ich komme da nicht so recht weit beim konkreten Ausrechnen.
Ich habe obiges zerlegt in u(x)+iv(x)=0
Wobei [mm] u(x,y)=x^2-y^2-3x+3 [/mm] und v(x,y)=2xy-3y+1 . z:=x+iy
Wenn ich dies nun versuche nach den herkömmlichen Methoden zu lösen, kriege ich ziemlich hässliche algebraische Ausdrücke.
hat jemand von euch einen Tipp?
Gruß Elvis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Sa 11.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Finden sie alle [mm]z\in\IC,[/mm] die [mm]z^2-3z+3+i=0[/mm] erfüllen
> hallo!
>
> Normalerweise dürfte obige Aufgabe keine Probleme machen,
> aber ich komme da nicht so recht weit beim konkreten
> Ausrechnen.
> Ich habe obiges zerlegt in u(x)+iv(x)=0
Das Ergebnis 0 ist eine Zahl, deren Real- und Imaginärteil Null ist. In
[mm]u(x,y)=x^2-y^2-3x+3[/mm] kann man mit quadratischer Ergänzung
[mm]u(x,y)=(x-1,5)^2+0,75-y^2[/mm] erhalten.
Es muss also [mm](x-1,5)^2+0,75-y^2=0[/mm] gelten.
Da auch der Imaginärteil Null ist, gilt noch 2y(x-1,5)+1=0 und damit [mm] (x-1,5)=\bruch{-1}{2y}.
[/mm]
Ist das wirklich so hässlich?
Gruß Abakus
> Wobei [mm]u(x,y)=x^2-y^2-3x+3[/mm] und v(x,y)=2xy-3y+1 . z:=x+iy
> Wenn ich dies nun versuche nach den herkömmlichen Methoden
> zu lösen, kriege ich ziemlich hässliche algebraische
> Ausdrücke.
> hat jemand von euch einen Tipp?
>
> Gruß Elvis
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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Ja, wenn man es so versucht hat wie ich es getan habe, dann schon.
Vielen Dank, ich werde es gleich mal ausprobieren.
Grüße elvis
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Hallo!
Also ich habe es jetzt versucht auszurechnen:
aus
[mm] u(x,y)=x^2-y^2-3x+3=0
[/mm]
v(x,y)=2xy-3y+1 =0
folgt: [mm] -4y^4+4y^2+1=0
[/mm]
[mm] y_{1}=\wurzel{\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{2}}}; [/mm]
[mm] y_{2}=-\wurzel{\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{2}}}
[/mm]
und aus [mm] x=-\bruch{1}{2y}+\bruch{3}{2}
[/mm]
folgen dann die Lösungen?
Vielen herzlichen Dank für deine Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 11.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
pruef bitte noch mal deine gleichung
$ [mm] -4y^4+4y^2+1=0 [/mm] $
nach. Ich hab was anderes raus.
Zustzbemerkung: wenn du wurzeln aus komplexen Zahlen ziehen kannst, kannst du die quadr. Gleichung direkt loesen, pq formel bzw. quadratische Ergaenzung wie im reellen.
ich find das immer schneller als die Zerlegerei
Gruss leduart
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vielen dank habe es nun gelöst.
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