Q adjungiert Primzahlwurzeln < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:55 Sa 16.10.2010 | | Autor: | makl |
| Aufgabe | | Ist die Körpererweiterung [mm] $Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},...):Q$ [/mm] algebraisch? Dabei sollen alle Primzahlenwurzeln adjungiert werden. |
Hallo,
ich habe leider keine richtige Ahnung wie ich das zeigen soll. Kann mir dabei jemand weiterhelfen?
Oder kennt jemand eine Körpererweiterung, die separabel ist, aber nicht einfach? Genau dies möchte ich nämlich mit dem oben genannten Beispiel zeigen. Doch dazu fehlt mir das Argument algebraisch.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Mat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Sa 16.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Mat!
> Ist die Körpererweiterung
> [mm]Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},...):Q[/mm] algebraisch? Dabei
> sollen alle Primzahlenwurzeln adjungiert werden.
>
> ich habe leider keine richtige Ahnung wie ich das zeigen
> soll. Kann mir dabei jemand weiterhelfen?
Nimm dir ein Element $x [mm] \in [/mm] K := [mm] \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \dots)$. [/mm] Dann gibt es Primzahen [mm] $p_1, \dots, p_n$, [/mm] so dass $x [mm] \in [/mm] L := [mm] \IQ(\sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_n})$ [/mm] ist (warum? das ist der wichtigste Punkt hier!).
Beachte, dass $L$ eine endliche Erweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Was sagt dies ueber $x$ aus?
> Oder kennt jemand eine Körpererweiterung, die separabel
> ist, aber nicht einfach? Genau dies möchte ich nämlich
> mit dem oben genannten Beispiel zeigen. Doch dazu fehlt mir
> das Argument algebraisch.
Jede separable Koerpererweiterung ist einfach, wenn sie endlich ist. Damit sie nicht einfach ist, muss sie unendlich sein.
LG Felix
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