Pythagoras < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Gabs |
| Aufgabe | Bei einem Segelflugwettbewerb fliegen die Teilnehmer die Orte A, B, C und D in der folgenden Reihenfolge an (vgl. Skizze):
A - D - B - C - D - A
Wie viele Kilometer legt ein Teilnehmer zurück?
(Runde alle Ergebnisse, auch Zwischenergebnisse, auf eine Dezimalsrelle!)
[Dateianhang nicht öffentlich][mm] <\task>
[/mm]
Diese Aufgabe wurde meinem Nachhilfeschüler in der Schulaufgabe vor Ostern gestellt. Er konnte sie nicht lösen.
Ich kann sie nur durch einen Trick lösen, indem man die Hilfslinie CE einzeichnet (vgl. 2. Bild)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jedoch erachte ich das Einzeichnen dieser Hilfslinie als eine Aufgabe für Spezialisten und nahezu Hochbegabte. Gibt es einen anderen Lösungsansatz?
[mm] CE^2 [/mm] = [mm] (\bruch{p}{2})^2 [/mm] + [mm] CD^2 [/mm] = [mm] (\bruch{p}{2})^2 [/mm] + cq = [mm] (\bruch{p}{2})^2 [/mm] + c(c-p) = [mm] (\bruch{p}{2})^2 [/mm] - cp + [mm] c^2 [/mm] = [mm] (\bruch{p}{2})^2 [/mm] - [mm] 2c\bruch{p}{2} [/mm] + [mm] c^2 [/mm] = (c - [mm] \bruch{p}{2})^2
[/mm]
CE = c - [mm] \bruch{p}{2}
[/mm]
c = CE + [mm] \bruch{p}{2}
[/mm]
Hat man diese Hürde einmal genommen, dann können die restlichen Strecken mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes ausgerechnet werden.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:52 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Fulla |
Hallo Gabs,
ich nenne mal die im großen Dreieck ACD dem Punkt C gegenüberliegende Seite $c$ und die Strecke BD nenne ich $h$.
Nach Pythagoras gilt:
(1) [mm] $(14+q)^2=c^2+8,5^2$
[/mm]
(2) [mm] $c^2=14^2+h^2$
[/mm]
(3) [mm] $8,5^2=h^2+q^2$
[/mm]
Diese drei Gleichungen mit drei Unbekannten sind zwar nicht linear, aber das Auflösen funktioniert trotzdem:
(2) nach [mm] $h^2$ [/mm] auflösen: [mm] $h^2=c^2-14^2$
[/mm]
in (3) einsetzen: [mm] 8,5^2=c^2-14^2+q^2$
[/mm]
nach [mm] c^2 [/mm] auflösen: [mm] $c^2=8,5^2+14^2-q^2$
[/mm]
in (1) einsetzen: [mm] $(14+q)^2=8,5^2+14^2-q^2+8,5^2$
[/mm]
umformen....: [mm] $q^2+14q-8,5^2=0$
[/mm]
Lösungsformel: [mm] $q=\frac{-14\pm\sqrt{14^2+4*8,5^2}}{2}=\ldots [/mm] =-18\ [mm] \vee\ [/mm] 4$
also: $q=4$
Es folgt: $c=15,9$ und $h=7,5$.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 Sa 03.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Gabs,
>
> ich nenne mal die im großen Dreieck ACD dem Punkt C
> gegenüberliegende Seite [mm]c[/mm] und die Strecke BD nenne ich [mm]h[/mm].
> Nach Pythagoras gilt:
> (1) [mm](14+q)^2=c^2+8,5^2[/mm]
> (2) [mm]c^2=14^2+h^2[/mm]
> (3) [mm]8,5^2=h^2+q^2[/mm]
>
> Diese drei Gleichungen mit drei Unbekannten sind zwar nicht
> linear, aber das Auflösen funktioniert trotzdem:
> (2) nach [mm]h^2[/mm] auflösen: [mm]h^2=c^2-14^2[/mm]
> in (3) einsetzen: [mm]8,5^2=c^2-14^2+q^2$[/mm]
> nach [mm]c^2[/mm] auflösen: [mm]c^2=8,5^2+14^2-q^2[/mm]
> in (1) einsetzen: [mm](14+q)^2=8,5^2+14^2-q^2+8,5^2[/mm]
> umformen....: [mm]q^2+14q-8,5^2=0[/mm]
> Lösungsformel:
> [mm]q=\frac{-14\pm\sqrt{14^2+4*8,5^2}}{2}=\ldots =-18\ \vee\ 4[/mm]
>
> also: [mm]q=4[/mm]
> Es folgt: [mm]c=15,9[/mm] und [mm]h=7,5[/mm].
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
Zweite Lösungsvariante: Kathetensatz im großen Dreieck.
Es gilt [mm] 8,5^2=q(q+14), [/mm] daraus erhält man q ohne größeren Aufwand.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:22 Sa 03.04.2010 | | Autor: | weduwe |
warum so kompliziert:
c = AC und b = AD
der kathetensatz ergibt
[mm]a^2=c(c-p)\to c^2-c\cdot p-a^2=0[/mm]
[mm] c=7+5\sqrt{4.85}\approx [/mm] 18.01
womit man den rest einfach berechnen kann
[mm]b^2=c^2-a^2[/mm]
[mm]p=c-q[/mm]
[mm]h^2=p\cdot q[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Gabs |
Ich danke Euch allen für Eure Mühe. Ich ging bei meiner Berechnung von einer Konstruierbarkeitsfrage aus, die lautet:
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck aus einer Kathete bekannter Länge und dem nicht anliegenden Hypothenusenabschnitt bekannter Länge!
Hierbei hilft kein Kathetensatz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Sa 03.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich danke Euch allen für Eure Mühe. Ich ging bei meiner
> Berechnung von einer Konstruierbarkeitsfrage aus, die
> lautet:
>
> Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck aus einer Kathete
> bekannter Länge und dem nicht anliegenden
> Hypothenusenabschnitt bekannter Länge!
>
> Hierbei hilft kein Kathetensatz.
Hallo,
alles, was sich als Summe, Differenz, rationales Vielfaches und Quadratwurzel gegebener Längen berechnen lässt, ist auch konstruierbar.
In unserem Fall:
Konstruiere einen Kreis k mit dem Mittelpunkt M und dem Durchmesser 14.
Lege auf k einen Punkt P fest und errichte dort die Kreistangente t.
Konstruiere auf t einen Punkt Q, der von P den Abstand 8,5 hat.
Zeichne die Gerade QM ein, sie schneidet den Kreis in zwei Punkten.
Der Abstand von Q zum ersten Schnittpunkt [mm] S_1 [/mm] mit dem Kreis sei q, der Abstand zum zweiten Schnittpunkt [mm] S_2 [/mm] ist entsprechend q+14.
Nach den Sekanten-Tangenten-Satz (oder wegen der beweisbaren Ähnlichkeit der Dreiecke [mm] PQS_1 [/mm] und [mm] PQS_2) [/mm] gilt [mm] 8,5^2=q(q+14), [/mm] womit die für die Anwendung des Kathetensatzes erforderliche Länge q konstruiert ist.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Sa 03.04.2010 | | Autor: | weduwe |
> Ich danke Euch allen für Eure Mühe. Ich ging bei meiner
> Berechnung von einer Konstruierbarkeitsfrage aus, die
> lautet:
>
> Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck aus einer Kathete
> bekannter Länge und dem nicht anliegenden
> Hypothenusenabschnitt bekannter Länge!
>
> Hierbei hilft kein Kathetensatz.
das stimmt nicht, wie schon abakus geschrieben hat.
man kann auch ganz einfach die quadratische gleichung, die aus dem kathetensatz resultiert, also
[mm]a^2=c(p-c)[/mm] direkt umsetzen
[Dateianhang nicht öffentlich]
edit: was auf deinen "trick" hinausläuft 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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