Punktspiegelung, -Drehung < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mo 03.11.2008 | | Autor: | aolade |
| Aufgabe | Gegeben ist der Punkt A (3,-1,2). In welche Punkte A' und A'' geht A über, wenn er
1) An der Ebene 2x-y+z=0 gespiegelt wird
2) Um 75° an der z-Achse gedreht wird |
Hallo!
Generell, weiß ich leider nicht was zu machen ist. Bei der ersten Aufgabe benötige ich ja den Richtungsvektor der Ebene, m.E. (2,-1,1) und muss ja irgendwie den Abstand zur Ebene bekommen.
Bei der zweiten Aufgabe, fehlt mir aber jeglicher Anfang.
Bin für Lösungshinweise dankbar.
gruß
aolade
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
zu1.)
E: 2x-y+z=0
das ist das gleiche wie
[mm] E^N:\vec{x}*\vektor{2 \\ -1\\1}=0
[/mm]
du kannst es auf zwei wege lösen!
Entweder mit der HesseNormalform oder mithilfe einer Hilsgeraden!
Ich machs mal mit der Hilfsgeraden:
h geht durch A und steht senkrecht zu E also hat als richtungsvektor deren Normalvektor->
[mm] h:\vec{x}=\vektor{3 \\ -1\\2}+\alpha*\vektor{2 \\ -1\\1}
[/mm]
nun schneidest du h und E daraus du erhältst den Fußpunkt F.
jetzt ist [mm] \overrightarrow{A^{strich}}=\vec{F}+\vec{AF}
[/mm]
die zweite Aufgabe schick ich dir gleich.
PS:
Wenn du HesseNormal kennst und kannst dann probier mal darüber auch aus!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mo 03.11.2008 | | Autor: | aolade |
Vielen Dank erstmal für die ausführliche Beschreibung, werd mich morgen nochmal dransetzen für die Lösungen.
Nebenbei, wie ist das mit dem "nun schneidest du h und E daraus" gemeint?
Einfach so:
[mm] 2=3+2*\alpha [/mm]
[mm] -1=-1+(-\alpha)
[/mm]
[mm] 1=2+\alpha [/mm]
|
|
|
| |
|
Ne du setzt das x der Geraden in das der Ebene(Normalform) ein!
[mm] [\vektor{3 \\ -1\\2}+\alpha\cdot{}\vektor{2 \\ -1\\1}]\cdot{}\vektor{2 \\ -1\\1}=0
[/mm]
Jetzt musst du ausmultiplizieren und nach alpha auflösen.
Wenn du das alpha dann wieder in h einsetzt bekommst du den Schnittpunkt hier ist es F!
Was du da machst ist gleichsetzten.
Das geht nur wenn man die ebene in Parameterform hat also [mm] x=P+\alpha*a+\beta*b [/mm] (alles mit vektorepfeielen drüber) aber du hast sie ja in Normalform also so wie oben!
|
|
|
| |
|
also da du ja an der z achse drehst bracuhst du im Prinzip nur im zweidimensionalem denken. Ich hab dir mal eine Skizze gemacht.
Wie gesagt die z koordinate bleibt gleich nur x und y verändern sich!
nimm die Formal [mm] cos(\alpha)=\bruch{\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}}{\overline{AB}*\overline{AC}}
[/mm]
also ist der [mm] cos(75°)=\bruch{\overrightarrow{OA}*\overrightarrow{OA^{strich}}}{\overline{OA}*\overline{OA^{strich}}}
[/mm]
da die Längen von [mm] \overline{OA} [/mm] gleich der von [mm] \overline{OA^{strich}} [/mm] ist kannnst du unten vereinfachen.
Jetzt setzt du für [mm] \overrightarrow{OA}=\vektor{x \\ y} [/mm] setzen und du erhälst die Beziehung von x und y.
Die zweite Gleichung geht über die Längen also [mm] \wurzel{x^2+y^2}=\overline{OA}
[/mm]
dann löse das gleichungssystem und du erhätst x und y von A´
Anmerkung:
um es zu vereinfachen rechnest du nur tweidimensional also ohne z weil das bleint ja gleich.
Übrigen O ist der Ursprung also O(0/0/0)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
