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Punkte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:06 Sa 03.02.2007
Autor: Halik87

Hallo, er wird zeit dass ich mich fürs abi vorbereite und habe nun eine frage: unser lehrer hat uns eine aufgabe aufgegeben, wir sollen punkte auf der graden g  [mm] \vektor{2 \\ 1\\-1} [/mm]  + [mm] a\vektor{1\\ 2\\2} [/mm] bestimmen, die einen abstand von [mm] 3\*\wurzel{11} [/mm] zum punkt Q [mm] \vektor{9 \\ 12\\-2} [/mm] haben.

er hat uns einen tipp gegeben, wir sollen die gerade g vom vektor [mm] \overline{Q} [/mm] abziehen, das wäre nun meine erste frage, warum denn die gerade und warum vom vektor [mm] \overline{Q} [/mm] und nicht vom punkt Q.

so dann habe ich so gerechnet wie er es mir gezeigt hat:

[mm] \vmat{\vektor{9\\ 12\\-2} - (\vektor{2\\ 1\\-1} + a\vektor{1 \\ 2\\2})} [/mm] = [mm] 3\*\wurzel{11} [/mm]
[mm] \vmat{\vektor{7 \\ 11\\-1} - a\vektor{1 \\ 2\\2})} [/mm] = [mm] 3\*\wurzel{11} [/mm]

[mm] \wurzel{(7-a)^{2}+(11-2a)^{2}+(-1-2a)^{2}} [/mm] = [mm] 3\*\wurzel{11} [/mm]


dann habe ich beide seiten hoch 2 genommen und die 2-te Binomische Formel angewendet

[mm] (49-14a+a^{2})+(121-44a+4a^{2})+(1+4a+4a^{2}) [/mm] = 99
zusammengefast ergibt sich bei mir
[mm] 171-54a+9a^{2} [/mm] = 99
jetzt bring ich die 99 aud die andere seite um die pq formel anzuwenden
[mm] 9a^{2}-54a+72 [/mm] = 0
dann durch 9 teilen
[mm] a^{2}-6a+8 [/mm] = 0
[mm] a_{1} [/mm] = -4
[mm] a_{2} [/mm] = -2
so ist das denn richtig? muss denn nicht die differenz der punkte die ich raushabe bei [mm] a_{1} [/mm] = -4   [mm] \vektor{-2 \\ -7\\-9} [/mm] und bei [mm] a_{2} [/mm] = -2  [mm] \vektor{0 \\ -3\\-3} [/mm] den richtungsvektor der geraden g ergeben?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Punkte bestimmen: Ortsvektor
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Sa 03.02.2007
Autor: Loddar

Hallo Halik!


> er hat uns einen tipp gegeben, wir sollen die gerade g vom
> vektor [mm]\overline{Q}[/mm] abziehen, das wäre nun meine erste
> frage, warum denn die gerade und warum vom vektor
> [mm]\overline{Q}[/mm] und nicht vom punkt Q.

Weil man mit "Punkten" nicht rechnen kann bzw. diese voneinander abziehen kann. Rechnen lässt es sich aber mit "Vektoren", und da verwendet man dann den entsprechenden Ortsvektor des Punktes $Q_$ :

[mm] $\vec{q} [/mm] \ = \ [mm] \overrightarrow{0Q} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{9\\12\\-2}$ [/mm]


Für die Punktdarstellung kenn e ich auch eher die horizontale Schreibweise mit $Q \ [mm] \left( \ 9 \ | \ 12 \ | \ -2 \ \right)$ [/mm] . Aber das ist nur eine Spitzfindigkeit am Rande ...


Warum voneinander abziehen? die gesuchten Punkte [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] haben ja zwei geforderte Eigenschaften:

Zum einen soll der Abstand zu $Q_$ einen festen vorgeschriebenen Wert haben. Von daher kenne wir also die Länge des entsprechenden Verbindungsvektors:

[mm] $\vec{d} [/mm] \ = \ [mm] \vec{p}-\vec{q} [/mm] \ = \ ...$     [mm] $\Rightarrow$ $\left|\vec{d}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\vec{p}-\vec{q}\right| [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] 3*\wurzel{11}$ [/mm]


Als 2. Eigenschaft sollen [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] auf der genannten Geraden liegen. Daher setzen wir diese Geradenvorschrift in o.g. Formel ein ...



> so dann habe ich so gerechnet wie er es mir gezeigt hat:
>  
> [mm]\vmat{\vektor{9\\ 12\\-2} - (\vektor{2\\ 1\\-1} + a\vektor{1 \\ 2\\2})}[/mm] = [mm]3\*\wurzel{11}[/mm]
> [mm]\vmat{\vektor{7 \\ 11\\-1} - a\vektor{1 \\ 2\\2})}[/mm] = [mm]3\*\wurzel{11}[/mm]

>
> [mm]\wurzel{(7-a)^{2}+(11-2a)^{2}+(-1-2a)^{2}}[/mm] = [mm]3\*\wurzel{11}[/mm]
> [mm](49-14a+a^{2})+(121-44a+4a^{2})+(1+4a+4a^{2})[/mm] = 99

[ok]


> [mm]a_{1}[/mm] = -4
> [mm]a_{2}[/mm] = -2

[ok]


> so ist das denn richtig? muss denn nicht die differenz
> der punkte die ich raushabe bei [mm]a_{1}[/mm] = -4   [mm]\vektor{-2 \\ -7\\-9}[/mm]
> und bei [mm]a_{2}[/mm] = -2  [mm]\vektor{0 \\ -3\\-3}[/mm] den
> richtungsvektor der geraden g ergeben?

Bei der 3. Komponente (= z-Komponente) des 2. Vektors hast Du Dich verrechnet. Da erhalte ich $-5_$ .

Und es ergibt sich als Differenz nicht unbedingt der Richtungsvektor, aber ein Vielfaches ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Punkte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Sa 03.02.2007
Autor: Halik87

danke schön :)
Bezug
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